Deseja-se remover um componente (soluto A ) de um material retangular de 2 cm de altura e espessura (x e y) e 100 cm de comprimento (z). Sabendo-se que a fração molar inicial de A e a fração molar de equilíbrio de A são iguais a
e
, respectivamente, determine o tempo necessário para reduzir a fração desse componente em
.
(a) Considerando a difusão através de uma face;
(b) Considerando a difusão através des duas faces (superior e inferior);
(c) Qual sistema irá apresentar a maior taxa de transferência de massa? Justifique sua resposta.
Obs.: considere regime transiente, propriedades físicas constantes, meio estagnado,
e que a resistência superficial possa ser desprezada.
(a) Considerando a difusão através de uma face;
(b) Considerando a difusão através des duas faces (superior e inferior);
(c) Qual sistema irá apresentar a maior taxa de transferência de massa? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede o tempo necessário para reduzir a fração molar do componente
em
do valor inicial, nas duas situações geométricas dadas, e comparar qual sistema tem maior taxa de transferência de massa. Dados fornecidos (listei tudo explicitamente):
Passo 2
Decidir qual modelo físico usar (lumped ou difusão espacial). Vou calcular o número de Biot para massa para ver se há gradientes espaciais (regime transiente com difusão interna importante). Para isso preciso do comprimento característico
, volume e área exposta:
- Se apenas uma face exposta:
- Se duas faces expostas:
Agora o número de Biot para massa:
Calcule:
Regra prática: se
o modelo de “sistema bem misto” (lumped) é aceitável; aqui
e
são bem maiores que
. Conclusão: não podemos usar o modelo lumped; é preciso resolver difusão transiente espacial (gradientes internos importantes). Isso também concorda com a presença de
no enunciado.]
Passo 3
Escolher o modelo de difusão e a solução prática. Com resistência superficial desprezável tomamos a condição de contorno de superfície com concentração fixa
. A geometria principal é uma chapa (plane sheet) de espessura total
. Para o caso em que ambas as faces (superior e inferior) estão expostas, a meia-espessura é
. Para uma chapa de espessura total
, tem-se
(duas faces expostas).
A solução clássica (separação de variáveis) para uma chapa de meia-espessura
com superfícies mantidas à concentração
e condição inicial uniforme
dá para a concentração média
a expressão adimensional:
Explicando as variáveis:
-
é a concentração média no volume no instante . -
é a concentração na superfície (aqui ). -
é a concentração inicial (aqui ). -
é a difusividade (aqui ). -
é a meia-espessura da chapa (em cm).
Na prática, para obter um tempo aproximado com boa precisão usa-se a aproximação de longo tempo retendo só o primeiro termo da série (primeiro modo), porque os termos seguintes decaem mais rápido:
Justificativa didática: cada termo da série corresponde a um “modo” com decaimento exponencial. O primeiro modo domina para tempos não extremamente pequenos. Aqui vou usar essa aproximação — ela costuma dar boa precisão para quedas de concentração consideráveis (faremos uma checagem rápida do fator de correção se necessário).
Observação sobre o caso “uma face exposta”: se apenas uma face está exposta e a outra é impermeável (insulada), pode-se usar o método de reflexão (espelhar a geometria) para ver que o problema se transforma num problema com duas faces expostas mas com comprimento efetivo dobrado. Em termos práticos, isso significa que, para a mesma expressão acima, a meia-espessura efetiva
para o caso “uma face” será
(isto é, a espessura total original
dá meia-espessura efetiva
na representação com faces simétricas). Assim:
- duas faces expostas:
. - somente uma face exposta: equivalente (pela reflexão) a
.
Passo 4
Calcular a condição alvo adimensional
. Temos:
Então
Também calculo o coeficiente do primeiro modo:
Logo, usando a aproximação de um termo:
Isolando
:
Passo 5
Caso (b) — difusão através de duas faces (superior e inferior). Aqui
. Substituo os números:
Agora:
Calcule o fator:
Multiplicando:
Em horas:
Passo 6
Caso (a) — difusão através de uma face somente. Pelo argumento de reflexão (ver explicação no Passo 3), uso
na fórmula (a meia-espessura efetiva dobra). Assim
aumenta em fator
em relação ao caso de duas faces, então o tempo será aproximadamente quatro vezes maior que no caso (b). Faço o cálculo direto:
Usando o mesmo fator já calculado:
Como esperávamos:
Em horas e minutos:
Passo 7
Comparação e justificativa (parte (c)). Resultados numericamente obtidos:
Qual sistema apresenta maior taxa de transferência de massa? O sistema com duas faces expostas apresenta maior taxa de transferência de massa (porque atinge a mesma redução no tempo menor). Justificativas físicas:
- Duas faces expostas significam área de troca dobrada, menor comprimento característico (
) e, na solução difusiva, meia-espessura menor: o tempo característico de difusão escala como , então reduzir pela metade reduz o tempo por um fator . - O cálculo do número de Biot mostrou que o processo é controlado por difusão interna; contudo, a maior área exposta reduz a resistência interna efetiva por caminho médio menor, acelerando a remoção.
- Em termos práticos: duas faces ⇒ transporte mais rápido; uma face ⇒ transporte mais lento (tempo ≈4× maior neste problema).
Resposta
(a)
(b)
(c) O sistema com duas faces expostas apresenta a maior taxa de transferência de massa (atinge a redução desejada em tempo menor), porque a área de troca é maior e a meia-espessura efetiva é menor — o tempo característico de difusão escala como .
(b)
(c) O sistema com duas faces expostas apresenta a maior taxa de transferência de massa (atinge a redução desejada em tempo menor), porque a área de troca é maior e a meia-espessura efetiva é menor — o tempo característico de difusão escala como