\mathbf{1}^{\mathbf{a}} Deseja-se remover um componente (soluto A ) de um material retangular de 2 cm de altura e espessura (x e y) e 100 cm de comprimento (z). Sabendo-se que a fração molar inicial de A e a fração molar de equilíbrio de A são iguais a 45 \% e 5 \%, respectivamente, determine o tempo necessário para reduzir a fração desse componente em 1 / 3.
(a) Considerando a difusão através de uma face;
(b) Considerando a difusão através des duas faces (superior e inferior);
(c) Qual sistema irá apresentar a maior taxa de transferência de massa? Justifique sua resposta.
Obs.: considere regime transiente, propriedades físicas constantes, meio estagnado, \mathrm{Kc}=0,1.10^{-4} \mathrm{s}^{-1}, \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=0,5 \cdot 10^{-5} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} e que a resistência superficial possa ser desprezada.

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para reduzir a fração molar do componente A em 1/3 do valor inicial, nas duas situações geométricas dadas, e comparar qual sistema tem maior taxa de transferência de massa. Dados fornecidos (listei tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Geometria: material retangular com seção }2\\ \mathrm{cm}\times 2\\ \mathrm{cm}\text{ e comprimento }100\\ \mathrm{cm}.\\\ &\text{Espessura na direção de difusão (altura/espessura): }2\\ \mathrm{cm}.\\\ &\text{Comprimento (direção z): }100\\ \mathrm{cm}\\ (\text{muito maior, portanto tratamos 1D na espessura}).\\\ &\text{Fração molar inicial: }C_i=45\%=0{,}45.\\\ &\text{Fração molar de equilíbrio (superfície/ambiente): }C_s=5\%=0{,}05.\\\ &\text{Deseja-se reduzir a fração em }1/3\text{ do valor inicial. Interpreto isso como:}\\\ &\qquad \text{reduzir }C_i\text{ em } \frac{1}{3}C_i \Rightarrow C_{\text{alvo}}=C_i\left(1-\tfrac{1}{3}\right)=0{,}30.\\\ &\text{Dados físicos: }K_c=0{,}1\cdot10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}}=1{,}0\cdot10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}},\quad D_{AB}=0{,}5\cdot10^{-5}\\ \mathrm{cm^2/s}=5{,}0\cdot10^{-6}\\ \mathrm{cm^2/s}.\\\ &\text{Observação do enunciado: resistência superficial desprezável (logo a superfície fica à }C_s\text{).}\\\ &\text{Casos: (a) difusão através de uma face; (b) difusão através de duas faces (superior e inferior).} \end{aligned}çãçããçãçãçãííçãíçãêáíàãéãé

Passo 2

Decidir qual modelo físico usar (lumped ou difusão espacial). Vou calcular o número de Biot para massa para ver se há gradientes espaciais (regime transiente com difusão interna importante). Para isso preciso do comprimento característico L_c, volume e área exposta:
\begin{aligned} &\text{Volume: }V=(2\\ \mathrm{cm})\times(2\\ \mathrm{cm})\times(100\\ \mathrm{cm})=400\\ \mathrm{cm^3}.\\\ &\text{Área de uma face (superior ou inferior): }A_{\text{face}}=100\\ \mathrm{cm}\times2\\ \mathrm{cm}=200\\ \mathrm{cm^2}. \end{aligned}Á
  • Se apenas uma face exposta: A=200\\ \mathrm{cm^2}\Rightarrow L_c=\dfrac{V}{A}=\dfrac{400}{200}=2\\ \mathrm{cm}.
  • Se duas faces expostas: A=2\cdot200=400\\ \mathrm{cm^2}\Rightarrow L_c=\dfrac{400}{400}=1\\ \mathrm{cm}.
Agora o número de Biot para massa:
\mathrm{Bi}=\dfrac{K_c L_c}{D_{AB}}.
Calcule:
\begin{aligned} &\text{Uma face: }\mathrm{Bi}_1=\dfrac{1{,}0\cdot10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}}\times 2\\ \mathrm{cm}}{5{,}0\cdot10^{-6}\\ \mathrm{cm^2/s}}=\dfrac{2{,}0\cdot10^{-5}}{5{,}0\cdot10^{-6}}=4.\\[6pt] &\text{Duas faces: }\mathrm{Bi}_2=\dfrac{1{,}0\cdot10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}}\times 1\\ \mathrm{cm}}{5{,}0\cdot10^{-6}\\ \mathrm{cm^2/s}}=\dfrac{1{,}0\cdot10^{-5}}{5{,}0\cdot10^{-6}}=2. \end{aligned}
Regra prática: se \mathrm{Bi}<0{,}1 o modelo de “sistema bem misto” (lumped) é aceitável; aqui \mathrm{Bi}_1=4 e \mathrm{Bi}_2=2 são bem maiores que 0{,}1. Conclusão: não podemos usar o modelo lumped; é preciso resolver difusão transiente espacial (gradientes internos importantes). Isso também concorda com a presença de D_{AB} no enunciado.]

Passo 3

Escolher o modelo de difusão e a solução prática. Com resistência superficial desprezável tomamos a condição de contorno de superfície com concentração fixa C=C_s. A geometria principal é uma chapa (plane sheet) de espessura total 2a. Para o caso em que ambas as faces (superior e inferior) estão expostas, a meia-espessura é L=a. Para uma chapa de espessura total 2\\ \mathrm{cm}, tem-se a=1\\ \mathrm{cm} (duas faces expostas).
A solução clássica (separação de variáveis) para uma chapa de meia-espessura L com superfícies mantidas à concentração C_s e condição inicial uniforme C_i dá para a concentração média \bar{C}(t) a expressão adimensional:
\Theta(t)\equiv \frac{\bar{C}(t)-C_s}{C_i-C_s} =\frac{8}{\pi^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}\exp\!\left(-\frac{(2n+1)^2\pi^2 D_{AB} t}{4L^2}\right).
Explicando as variáveis:
  • \bar{C}(t) é a concentração média no volume no instante t.
  • C_s é a concentração na superfície (aqui 0{,}05).
  • C_i é a concentração inicial (aqui 0{,}45).
  • D_{AB} é a difusividade (aqui 5{,}0\cdot10^{-6}\\ \mathrm{cm^2/s}).
  • L é a meia-espessura da chapa (em cm).
Na prática, para obter um tempo aproximado com boa precisão usa-se a aproximação de longo tempo retendo só o primeiro termo da série (primeiro modo), porque os termos seguintes decaem mais rápido:
\Theta(t)\approx \frac{8}{\pi^2}\exp\!\left(-\frac{\pi^2 D_{AB} t}{4L^2}\right).
Justificativa didática: cada termo da série corresponde a um “modo” com decaimento exponencial. O primeiro modo domina para tempos não extremamente pequenos. Aqui vou usar essa aproximação — ela costuma dar boa precisão para quedas de concentração consideráveis (faremos uma checagem rápida do fator de correção se necessário).
Observação sobre o caso “uma face exposta”: se apenas uma face está exposta e a outra é impermeável (insulada), pode-se usar o método de reflexão (espelhar a geometria) para ver que o problema se transforma num problema com duas faces expostas mas com comprimento efetivo dobrado. Em termos práticos, isso significa que, para a mesma expressão acima, a meia-espessura efetiva L para o caso “uma face” será L=2\\ \mathrm{cm} (isto é, a espessura total original 2\\ \mathrm{cm} dá meia-espessura efetiva L=2\\ \mathrm{cm} na representação com faces simétricas). Assim:
  • duas faces expostas: L=1\\ \mathrm{cm}.
  • somente uma face exposta: equivalente (pela reflexão) a L=2\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Calcular a condição alvo adimensional \Theta. Temos:
C_i=0{,}45,\quad C_s=0{,}05,\quad C_{\text{alvo}}=0{,}30.
Então
\Theta_{\text{alvo}}=\frac{C_{\text{alvo}}-C_s}{C_i-C_s}=\frac{0{,}30-0{,}05}{0{,}45-0{,}05}=\frac{0{,}25}{0{,}40}=0{,}625.
Também calculo o coeficiente do primeiro modo:
A_1=\frac{8}{\pi^2}\approx 0{,}810569.
Logo, usando a aproximação de um termo:
\Theta_{\text{alvo}}\approx A_1\exp\!\left(-\frac{\pi^2 D_{AB} t}{4L^2}\right).
Isolando t:
t\approx -\frac{4L^2}{\pi^2 D_{AB}}\ln\!\left(\frac{\Theta_{\text{alvo}}}{A_1}\right).

Passo 5

Caso (b) — difusão através de duas faces (superior e inferior). Aqui L=1\\ \mathrm{cm}. Substituo os números:
\begin{aligned} &D_{AB}=5{,}0\cdot10^{-6}\\ \mathrm{cm^2/s},\quad L=1\\ \mathrm{cm},\\[4pt] &\frac{\Theta_{\text{alvo}}}{A_1}=\frac{0{,}625}{0{,}810569}=0{,}771267\quad\Rightarrow\quad -\ln\!\left(\frac{\Theta_{\text{alvo}}}{A_1}\right)=0{,}2596\\ (\text{adimensional}). \end{aligned}
Agora:
t\approx -\frac{4(1\\ \mathrm{cm})^2}{\pi^2(5{,}0\cdot10^{-6}\\ \mathrm{cm^2/s})}\ln(0{,}771267).
Calcule o fator:
\frac{4}{\pi^2 D_{AB}}=\frac{4}{9{,}8696044\times 5{,}0\cdot10^{-6}}=8{,}1032\cdot10^{4}\\ \mathrm{s/cm^2}.
Multiplicando:
t\approx 8{,}1032\cdot10^{4}\times 1^2\times 0{,}2596 =2{,}1031\cdot10^{4}\\ \mathrm{s}=21{,}031\\ \mathrm{s}.
Em horas:
t\approx \frac{21{,}031\\ \mathrm{s}}{3600\\ \mathrm{s/h}}\approx 5{,}84\\ \mathrm{h}\approx 5\\ \mathrm{h}\\\ 50\\ \mathrm{min}.]

Passo 6

Caso (a) — difusão através de uma face somente. Pelo argumento de reflexão (ver explicação no Passo 3), uso L=2\\ \mathrm{cm} na fórmula (a meia-espessura efetiva dobra). Assim L^2 aumenta em fator 4 em relação ao caso de duas faces, então o tempo será aproximadamente quatro vezes maior que no caso (b). Faço o cálculo direto:
Usando o mesmo fator já calculado:
t\approx 8{,}1032\cdot10^{4}\times (2\\ \mathrm{cm})^2\times 0{,}2596 =8{,}1032\cdot10^{4}\times 4 \times 0{,}2596.
Como esperávamos:
t\approx 4\times 21{,}031\\ \mathrm{s}=84{,}124\\ \mathrm{s}\approx 23{,}37\\ \mathrm{h}.
Em horas e minutos:
t\approx 23\\ \mathrm{h}\\\ 22\\ \mathrm{min}.

Passo 7

Comparação e justificativa (parte (c)). Resultados numericamente obtidos:
\begin{aligned} &\text{(a) uma face: }t\approx 84{,}124\\ \mathrm{s}\approx 23{,}37\\ \mathrm{h}.\\\ &\text{(b) duas faces: }t\approx 21{,}031\\ \mathrm{s}\approx 5{,}84\\ \mathrm{h}. \end{aligned}
Qual sistema apresenta maior taxa de transferência de massa? O sistema com duas faces expostas apresenta maior taxa de transferência de massa (porque atinge a mesma redução no tempo menor). Justificativas físicas:
  • Duas faces expostas significam área de troca dobrada, menor comprimento característico ( L_c) e, na solução difusiva, meia-espessura L menor: o tempo característico de difusão escala como L^2/D, então reduzir L pela metade reduz o tempo por um fator 4.
  • O cálculo do número de Biot mostrou que o processo é controlado por difusão interna; contudo, a maior área exposta reduz a resistência interna efetiva por caminho médio menor, acelerando a remoção.
  • Em termos práticos: duas faces ⇒ transporte mais rápido; uma face ⇒ transporte mais lento (tempo ≈4× maior neste problema).

Resposta

(a) t\approx 84{,}124\\ \mathrm{s}\approx 23{,}37\\ \mathrm{h}.
(b) t\approx 21{,}031\\ \mathrm{s}\approx 5{,}84\\ \mathrm{h}.
(c) O sistema com duas faces expostas apresenta a maior taxa de transferência de massa (atinge a redução desejada em tempo menor), porque a área de troca é maior e a meia-espessura efetiva é menor — o tempo característico de difusão escala como L^2/D.

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