Considere um sistema aquático com 5 metros de profundidade em que se deseja cultivar determinada espécie de peixe. Sabe-se que para a sua sobrevivência é necessário que seja realizado um controle rigoroso do nível de oxigênio na água, mínimo necessário de
. Porém, inicialmente, encontrou-se a concentração de
igual a
. Diante das informações descritas acima, determine qual o tempo necessário para que os peixes tenham as mínimas condições de sobrevivência a
e 1 atm a 1,0 metro de profundidade (Dados: concentração de
na superfície igual a
e
).
Passo 1
O enunciado pede para determinar o tempo necessário para que, a
metro de profundidade, a concentração de
atinja o mínimo de
, sabendo que inicialmente a concentração é
e que a superfície é mantida em
. Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é achar o tempo
tal que a concentração em
atinja
. A resolução efetiva começa no Passo 2.
Passo 2
Modelagem física e equação usada. Quando uma superfície em contato com um fluido é mantida com concentração constante
e o resto do fluido começa com concentração uniforme
, a evolução unidimensional da concentração por difusão, supondo meio semi-infinito (profundidade grande comparada à distância de interesse no tempo considerado), tem a solução conhecida em termos da função erro. A solução é
Aqui:
-
é a concentração no ponto e tempo . -
é a concentração na superfície em . -
é a concentração inicial no interior ( ). -
é o coeficiente de difusão em unidades compatíveis com e . -
é a função erro, uma função tabulada/inversa bem conhecida em problemas de difusão; e .
Explicação didática curta sobre a
: a função erro aparece ao resolver a equação de difusão com condições do tipo “superfície mantida” porque integra a distribuição gaussiana. Para valores
pequenos,
; para valores intermediários usa-se tabelas, calculadora científica ou inversão numérica.
Passo 3
Isolar a incógnita. Queremos
tal que
para
. Substituindo na solução e rearranjando:
Isolando a função erro:
Também é útil usar a função complementar de erro
; reescrevendo com
obtemos
Essa última forma é prática porque o numerador do lado direito é exatamente o “progresso” necessário desde
até
.
Passo 4
Converter unidades do coeficiente de difusão para o SI e calcular a fração numérica. Primeiro converter
:
Calcular a fração do avanço necessário:
Portanto
Passo 5
Inverter a
para obter o argumento. Defina
Então
Como
, temos
Agora precisamos de
. Sabemos que
. Como
é um pouco menor que
,
será um pouco menor que
. Usando uma aproximação numérica por expansão linear (ou tabela/inversor de
) obtemos
Observação didática: se você tiver calculadora científica ou software, pode calcular diretamente
. Se não tiver, usar a aproximação linear local em torno de
com a derivada
dá uma boa estimativa.
Passo 6
Resolver para
. Usando a definição de
:
Substituir valores numéricos (todos em SI):
,
,
:
Calcule passo a passo:
Então
Passo 7
Converter o tempo para dias e anos para dar intuição:
Comentário motivador: é um número grande — a difusão molecular pura na água é muito lenta para encher
de profundidade até a concentração desejada em tempo curto; por isso, em aquicultura prática usa-se aeração mecânica/recirculação para reduzir esse tempo.