2{ }^{\text {a }} Considere um sistema aquático com 5 metros de profundidade em que se deseja cultivar determinada espécie de peixe. Sabe-se que para a sua sobrevivência é necessário que seja realizado um controle rigoroso do nível de oxigênio na água, mínimo necessário de 8.4 \mathrm{mg} / \mathrm{L}. Porém, inicialmente, encontrou-se a concentração de \mathrm{O}_{2} igual a 1.7 \mathrm{mg} / \mathrm{L}. Diante das informações descritas acima, determine qual o tempo necessário para que os peixes tenham as mínimas condições de sobrevivência a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm a 1,0 metro de profundidade (Dados: concentração de \mathrm{O}_{2} na superfície igual a 15 \mathrm{mg} / \mathrm{L} e \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=2,41.10^{-5} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} ).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o tempo necessário para que, a 1{,}0 metro de profundidade, a concentração de \mathrm{O}_2 atinja o mínimo de 8{,}4\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}, sabendo que inicialmente a concentração é 1{,}7\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L} e que a superfície é mantida em 15\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}. Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{profundidade alvo: } x = 1{,}0\\ \mathrm{m},\\\ &\text{concentração mínima desejada: } C_{\text{req}} = 8{,}4\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L},\\\ &\text{concentração inicial no volume: } C_i = 1{,}7\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L},\\\ &\text{concentração na superfície (mantida): } C_s = 15\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L},\\\ &\text{coeficiente de difusão dado: } D_{AB} = 2{,}41\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}. \end{aligned}çãíçãçãíã
A tarefa é achar o tempo t tal que a concentração em x=1{,}0\\ \mathrm{m} atinja C_{\text{req}}. A resolução efetiva começa no Passo 2.

Passo 2

Modelagem física e equação usada. Quando uma superfície em contato com um fluido é mantida com concentração constante C_s e o resto do fluido começa com concentração uniforme C_i, a evolução unidimensional da concentração por difusão, supondo meio semi-infinito (profundidade grande comparada à distância de interesse no tempo considerado), tem a solução conhecida em termos da função erro. A solução é
C(x,t)=C_s-(C_s-C_i)\,\mathrm{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right).
Aqui:
  • C(x,t) é a concentração no ponto x e tempo t.
  • C_s é a concentração na superfície em x=0.
  • C_i é a concentração inicial no interior ( t=0).
  • D é o coeficiente de difusão em unidades compatíveis com x e t.
  • \mathrm{erf}(\cdot) é a função erro, uma função tabulada/inversa bem conhecida em problemas de difusão; \mathrm{erf}(0)=0 e \mathrm{erf}(\infty)=1.
Explicação didática curta sobre a \mathrm{erf}: a função erro aparece ao resolver a equação de difusão com condições do tipo “superfície mantida” porque integra a distribuição gaussiana. Para valores y pequenos, \mathrm{erf}(y)\approx \frac{2}{\sqrt{\pi}}y; para valores intermediários usa-se tabelas, calculadora científica ou inversão numérica.

Passo 3

Isolar a incógnita. Queremos t tal que C(x,t)=C_{\text{req}} para x=1{,}0\\ \mathrm{m}. Substituindo na solução e rearranjando:
C_{\text{req}} = C_s-(C_s-C_i)\,\mathrm{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right).
Isolando a função erro:
\mathrm{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right)=\frac{C_s-C_{\text{req}}}{C_s-C_i}.
Também é útil usar a função complementar de erro \mathrm{erfc}(z)=1-\mathrm{erf}(z); reescrevendo com \mathrm{erfc} obtemos
\mathrm{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right)=\frac{C_{\text{req}}-C_i}{C_s-C_i}.
Essa última forma é prática porque o numerador do lado direito é exatamente o “progresso” necessário desde C_i até C_{\text{req}}.

Passo 4

Converter unidades do coeficiente de difusão para o SI e calcular a fração numérica. Primeiro converter D:
D = 2{,}41\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} =2{,}41\times10^{-5}\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} =2{,}41\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Calcular a fração do avanço necessário:
\frac{C_{\text{req}}-C_i}{C_s-C_i}=\frac{8{,}4-1{,}7}{15-1{,}7}=\frac{6{,}7}{13{,}3}=0{,}50376\\ (\text{aprox.}).
Portanto
\mathrm{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right)=0{,}50376.

Passo 5

Inverter a \mathrm{erfc} para obter o argumento. Defina
z=\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}.
Então
\mathrm{erfc}(z)=0{,}50376.
Como \mathrm{erf}(z)=1-\mathrm{erfc}(z), temos
\mathrm{erf}(z)=1-0{,}50376=0{,}49624.
Agora precisamos de z=\mathrm{erf}^{-1}(0{,}49624). Sabemos que \mathrm{erf}^{-1}(0{,}5)\approx0{,}476936. Como 0{,}49624 é um pouco menor que 0{,}5, z será um pouco menor que 0{,}476936. Usando uma aproximação numérica por expansão linear (ou tabela/inversor de \mathrm{erf}) obtemos
z\approx 0{,}4728\quad(\text{aproximação numérica com precisão adequada para o problema}).çãéã
Observação didática: se você tiver calculadora científica ou software, pode calcular diretamente z=\mathrm{erf}^{-1}(0{,}49624). Se não tiver, usar a aproximação linear local em torno de 0{,}4769 com a derivada \frac{d}{dz}\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-z^2} dá uma boa estimativa.

Passo 6

Resolver para t. Usando a definição de z:
z=\frac{x}{2\sqrt{D\,t}} \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{x^2}{4D z^2}.
Substituir valores numéricos (todos em SI): x=1{,}0\\ \mathrm{m}, D=2{,}41\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, z=0{,}4728:
t=\frac{(1{,}0)^2}{4\times(2{,}41\times10^{-9})\times(0{,}4728)^2}.
Calcule passo a passo:
z^2\approx 0{,}4728^2=0{,}2235\\ (\text{aprox.}),
4D z^2\approx 4\times2{,}41\times10^{-9}\times0{,}2235 =9{,}64\times10^{-9}\times0{,}2235 \approx 2{,}154\times10^{-9}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Então
t\approx\frac{1}{2{,}154\times10^{-9}}\\ \mathrm{s}\approx 4{,}64\times10^{8}\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Converter o tempo para dias e anos para dar intuição:
\text{dias}=\frac{t}{86400}\approx\frac{4{,}64\times10^{8}}{86400}\approx 5{,}38\times10^{3}\\ \text{dias},
\text{anos}\approx\frac{5{,}38\times10^{3}}{365}\approx 14{,}7\\ \text{anos}.
Comentário motivador: é um número grande — a difusão molecular pura na água é muito lenta para encher 1{,}0\\ \mathrm{m} de profundidade até a concentração desejada em tempo curto; por isso, em aquicultura prática usa-se aeração mecânica/recirculação para reduzir esse tempo.

Resposta

t \approx 4{,}64\times10^{8}\\ \mathrm{s} \approx 5{,}38\times10^{3}\\ \mathrm{dias} \approx 14{,}7\\ \mathrm{anos}

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