Mostre que a equação x e^{x}=10 é equivalente às seguintes equações:
x=\ln \left(\frac{10}{x}\right) \quad \text { e } \quad x=10 e^{-x}
Destas, considere as seguintes iterações de ponto fixo:
x_{k+1}=10 e^{-x_{k}}
Tomando x_{0}=1, verifique se estas sequências são convergentes.

Passo 1

O enunciado dá a equação inicial
x e^{x}=10
e pede duas coisas:
  • mostrar que essa equação é equivalente às formas
x=\ln\!\left(\frac{10}{x}\right)\quad\text{e}\quad x=10e^{-x},
  • e, a partir da iteração de ponto-fixo
x_{k+1}=10e^{-x_k},
com x_0=1, verificar se a sequência (x_k) é convergente.
As informações relevantes são somente a equação dada e a iteração proposta. Não há solução explícita pedida (mas existe via função W de Lambert); o foco é reescrever a equação e estudar a convergência da iteração.

Passo 2

Mostrar as equivalências algébricas de forma clara e passo a passo.
Partindo de \;x e^{x}=10\; (observação: x\neq0 porque 0\cdot e^0=0\neq10), fazemos:
e^{x}=\frac{10}{x}.
Tomando logaritmo natural dos dois lados (válido porque o lado direito é positivo para qualquer solução), obtemos
x=\ln\!\left(\frac{10}{x}\right),
que é a primeira forma pedida.
Para obter a segunda forma, partir de e^{x}=\dfrac{10}{x} e multiplicar ambos os lados por e^{-x}
1=\frac{10}{x}e^{-x}.
Multiplicando ambos os lados por x vem
x=10e^{-x},
que é exatamente a segunda forma pedida.
Portanto as duas formas são equivalentes à equação original (com a observação de que qualquer solução comum deve satisfazer x\neq0).

Passo 3

Explicar rapidamente a ideia de iteração de ponto-fixo e o critério usual de convergência (didaticamente).
Se temos uma equação x=g(x) e aplicamos a iteração
x_{k+1}=g(x_k),
uma teoria básica diz: se existir um intervalo I contendo a solução x^* tal que g é contínua em I e g é uma contração em I (isto é, existe L\in[0,1) com |g'(x)|\le L para todo x\in I), então qualquer iteração adequada com x_0\in I converge para x^*. Intuitivamente, |g'(x)|<1 mede que g “encolhe” diferenças; se |g'(x)|>1 no ponto fixo, esse ponto é repulsor (pequenos desvios tendem a crescer) e a iteração geralmente diverge ou não converge.
Vamos aplicar isso ao caso g(x)=10e^{-x}.

Passo 4

Calcular g'(x) e avaliar no ponto fixo.
Defina \;g(x)=10e^{-x}\;. Então
g'(x) = -10 e^{-x}.
Note que a magnitude é
|g'(x)|=10e^{-x}.
Se x^* é um ponto fixo então x^*=g(x^*), isto é x^*=10e^{-x^*}. Mas da equação original temos x^*e^{x^*}=10, portanto e^{x^*}=10/x^*. Substituindo isso em g'(x^*) obtemos uma identidade útil:
g'(x^*)=-10e^{-x^*}=-\frac{10}{e^{x^*}}=-\frac{10}{10/x^*}=-x^*.
Logo
|g'(x^*)|=| -x^*|=x^*.
Portanto o valor absoluto da derivada de g no ponto fixo é precisamente o próprio ponto fixo x^*. Agora basta notar que a solução x^* de x e^{x}=10 satisfaz 1<x^*<2 (porque 1\cdot e^1=e<10 e 2\cdot e^2\approx14{,}78>10), logo x^*>1. Assim
|g'(x^*)|=x^*>1.
Pelo critério linearizado: se |g'(x^*)|>1 o ponto fixo é repulsor e a iteração não converge localmente para x^* (pequenos erros tendem a crescer).

Passo 5

Construir alguns iterados numéricos a partir de x_0=1 para ver o comportamento prático.
Calculemos alguns termos:
x_0=1,
x_1=10e^{-x_0}=10e^{-1}\approx 3{,}6787944,
x_2=10e^{-x_1}\approx 10e^{-3{,}6787944}\approx 0{,}253,
x_3=10e^{-x_2}\approx 10e^{-0{,}253}\approx 7{,}76,
x_4=10e^{-x_3}\approx 10e^{-7{,}76}\approx 0{,}0043,
x_5=10e^{-x_4}\approx 9{,}958,\quad x_6\approx 4{,}7\times10^{-5},\\ \ldots
Note o padrão: a sequência alterna entre valores grandes (próximos de 10) e valores muito pequenos (próximos de 0). Esses saltos mostram que os termos não se aproximam de um único valor; pelo contrário, a iteração é instável e os iterados oscilam amplamente.

Passo 6

Conclusão lógica e interpretação final.
Pela identidade g'(x^*)=-x^* e pela desigualdade x^*>1 obtemos |g'(x^*)|>1, logo o ponto fixo é repulsor e a iteração de ponto-fixo x_{k+1}=10e^{-x_k} não converge para a solução x^* a partir de x_0=1. Os exemplos numéricos confirmam: a sequência oscila entre valores muito grandes e muito pequenos e não tende a um limite.

Resposta

A equação x e^{x}=10 é equivalente a x=\ln\!\left(\dfrac{10}{x}\right) e a x=10e^{-x}.
A iteração x_{k+1}=10e^{-x_k} com x_0=1 não é convergente (a sequência diverge/oscila, não tende ao ponto fixo).

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