Mostre que a equação
é equivalente às seguintes equações:
Destas, considere as seguintes iterações de ponto fixo:
Tomando
, verifique se estas sequências são convergentes.
Passo 1
O enunciado dá a equação inicial
e pede duas coisas:
- mostrar que essa equação é equivalente às formas
- e, a partir da iteração de ponto-fixo
com
, verificar se a sequência
é convergente.
As informações relevantes são somente a equação dada e a iteração proposta. Não há solução explícita pedida (mas existe via função
de Lambert); o foco é reescrever a equação e estudar a convergência da iteração.
Passo 2
Mostrar as equivalências algébricas de forma clara e passo a passo.
Partindo de
(observação:
porque
), fazemos:
Tomando logaritmo natural dos dois lados (válido porque o lado direito é positivo para qualquer solução), obtemos
que é a primeira forma pedida.
Para obter a segunda forma, partir de
e multiplicar ambos os lados por
dá
Multiplicando ambos os lados por
vem
que é exatamente a segunda forma pedida.
Portanto as duas formas são equivalentes à equação original (com a observação de que qualquer solução comum deve satisfazer
).
Passo 3
Explicar rapidamente a ideia de iteração de ponto-fixo e o critério usual de convergência (didaticamente).
Se temos uma equação
e aplicamos a iteração
uma teoria básica diz: se existir um intervalo
contendo a solução
tal que
é contínua em
e
é uma contração em
(isto é, existe
com
para todo
), então qualquer iteração adequada com
converge para
. Intuitivamente,
mede que
“encolhe” diferenças; se
no ponto fixo, esse ponto é repulsor (pequenos desvios tendem a crescer) e a iteração geralmente diverge ou não converge.
Vamos aplicar isso ao caso
.
Passo 4
Calcular
e avaliar no ponto fixo.
Defina
. Então
Note que a magnitude é
Se
é um ponto fixo então
, isto é
. Mas da equação original temos
, portanto
. Substituindo isso em
obtemos uma identidade útil:
Logo
Portanto o valor absoluto da derivada de
no ponto fixo é precisamente o próprio ponto fixo
. Agora basta notar que a solução
de
satisfaz
(porque
e
), logo
. Assim
Pelo critério linearizado: se
o ponto fixo é repulsor e a iteração não converge localmente para
(pequenos erros tendem a crescer).
Passo 5
Construir alguns iterados numéricos a partir de
para ver o comportamento prático.
Calculemos alguns termos:
Note o padrão: a sequência alterna entre valores grandes (próximos de 10) e valores muito pequenos (próximos de 0). Esses saltos mostram que os termos não se aproximam de um único valor; pelo contrário, a iteração é instável e os iterados oscilam amplamente.
Passo 6
Conclusão lógica e interpretação final.
Pela identidade
e pela desigualdade
obtemos
, logo o ponto fixo é repulsor e a iteração de ponto-fixo
não converge para a solução
a partir de
. Os exemplos numéricos confirmam: a sequência oscila entre valores muito grandes e muito pequenos e não tende a um limite.
Resposta
A equação
é equivalente a
e a
.
A iteração
com
não é convergente (a sequência diverge/oscila, não tende ao ponto fixo).