[\mathbf{2 , 0}] Esboce o sólido limitado pelas superfícies z=x^{2} ; y=0 ; y=5 ; z=4 e calcule o seu volume.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies z = x^{2}, y = 0, y = 5 e z = 4. Esse sólido é formado pela “casquinha” parabólica z = x^{2} cortada pelo plano horizontal z=4 e extrudida no sentido de y de 0 a 5. Para encontrar o volume, vamos usar integração tripla projetando o sólido no plano xy.

Passo 2

Para existir pontos no sólido precisamos ter
x^{2} \le z \le 4,
logo x^{2}\le 4 -2 \le x \le 2. E como y varia entre 0 e 5, a projeção no plano xy é o retângulo
D = \{(x,y)\mid -2\le x\le 2,\;0\le y\le 5\}.

Passo 3

O volume V é dado por
V = \int_{y=0}^{5}\int_{x=-2}^{2}\int_{z=x^{2}}^{4}dz\,dx\,dy.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{z=x^{2}}^{4}dz = 4 - x^{2}.
Então
V = \int_{y=0}^{5}\int_{x=-2}^{2}(4 - x^{2})\,dx\,dy.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{x=-2}^{2}(4 - x^{2})\,dx = \Bigl[4x - \tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-2}^{2} = \bigl(8 - \tfrac{8}{3}\bigr) - \bigl(-8 + \tfrac{8}{3}\bigr) = \tfrac{32}{3}.
Logo
V = \int_{y=0}^{5}\tfrac{32}{3}\,dy.

Passo 6

Por fim, integramos em y:
V = \frac{32}{3}\int_{0}^{5}dy = \frac{32}{3}\cdot 5 = \frac{160}{3}.

Resposta

\frac{160}{3}.

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