Calcule a integral
, em que
é a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente compute a integral dupla
onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas
(abaixo) e
(acima). Para resolver, vamos usar a definição de integral dupla em coordenadas cartesianas, identificando primeiro os limites em
e
.
Passo 2
Precisamos encontrar onde as duas curvas se intersectam, resolvendo
As raízes são
isto é,
ou
. Como estamos no primeiro quadrante
, a única interseção relevante é
. Além disso, em
a região existe (vai de
até
), então
varia de
a
.
Passo 3
Com isso, a região
é descrita por
Logo montamos a integral como
Passo 4
Primeiro integramos em relação a
:
Passo 5
Agora integramos em
:
Uma primitiva é
avaliando de
a
dá