[2,0] Calcule a integral \iint_{R} 2 x d A, em que R é a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas y=x^{2} e y=x+2.

Passo 1

O enunciado pede que a gente compute a integral dupla
\iint_{R}2x\,dA
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x^2 (abaixo) e y=x+2 (acima). Para resolver, vamos usar a definição de integral dupla em coordenadas cartesianas, identificando primeiro os limites em x e y.

Passo 2

Precisamos encontrar onde as duas curvas se intersectam, resolvendo
x^2 = x + 2
x^2 - x - 2 = 0
As raízes são
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2},
isto é, x=2 ou x=-1. Como estamos no primeiro quadrante x\ge0, a única interseção relevante é x=2. Além disso, em x=0 a região existe (vai de y=0 até y=2), então x varia de 0 a 2.

Passo 3

Com isso, a região R é descrita por
0 \le x \le 2, \quad x^2 \le y \le x+2.
Logo montamos a integral como
\int_{x=0}^{2}\int_{y=x^2}^{x+2} 2x\,dy\,dx.

Passo 4

Primeiro integramos em relação a y:
\int_{y=x^2}^{x+2}2x\,dy =2x\bigl[(x+2)-x^2\bigr] =2x\,(x+2 - x^2).

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{0}^{2}2x\,(x+2 - x^2)\,dx =\int_{0}^{2}\bigl(2x^2 +4x -2x^3\bigr)\,dx.
Uma primitiva é
\frac{2}{3}x^3 +2x^2 -\frac{1}{2}x^4,
avaliando de 0 a 2
\left(\frac{2}{3}\cdot 2^3 +2\cdot2^2 -\frac12\cdot2^4\right) -\bigl(0\bigr) =\frac{16}{3}+8-8 =\frac{16}{3}.

Resposta

\iint_{R}2x\,dA = \frac{16}{3}.

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