Escreva uma integral dupla ou tripla, especificando os limites de integração, que forneça o volume do tetraedro localizado abaixo do plano
, no primeiro octante. OBS: não é necessário calcular a integral, apenas escrever.
Passo 1
O enunciado pede o volume do tetraedro que fica no primeiro octante (ou seja
,
,
) e está abaixo do plano
Para resolver isso vamos usar integração múltipla: podemos montar um integral triplo sobre a região em que esse tetraedro existe.
Passo 2
Primeiro escrevemos o plano isolando
:
Esse valor será o limite superior de integração em
, já que o tetraedro vai de
até esse plano.
Passo 3
Para determinar os limites em
e
, projetamos a região no plano
. Como
, temos
Assim, a projeção é o triângulo
Passo 4
Agora montamos o integral triplo para o volume
. Vamos integrar primeiro em
, depois em
e finalmente em
. Os limites são:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a . - Para cada
, varia de a .