[\mathbf{2 , 0}] Escreva uma integral dupla ou tripla, especificando os limites de integração, que forneça o volume do tetraedro localizado abaixo do plano 6=2 x+2 y+z, no primeiro octante. OBS: não é necessário calcular a integral, apenas escrever.

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro que fica no primeiro octante (ou seja x\ge0, y\ge0, z\ge0) e está abaixo do plano
6 = 2x + 2y + z.
Para resolver isso vamos usar integração múltipla: podemos montar um integral triplo sobre a região em que esse tetraedro existe.

Passo 2

Primeiro escrevemos o plano isolando z:
z = 6 - 2x - 2y.
Esse valor será o limite superior de integração em z, já que o tetraedro vai de z=0 até esse plano.

Passo 3

Para determinar os limites em x e y, projetamos a região no plano xy. Como z\ge0, temos
6 - 2x - 2y \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 2y \le 6 \quad\Longrightarrow\quad x + y \le 3.
Assim, a projeção é o triângulo \{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le3\}.

Passo 4

Agora montamos o integral triplo para o volume V. Vamos integrar primeiro em z, depois em y e finalmente em x. Os limites são:
  • x varia de 0 a 3.
  • Para cada x, y varia de 0 a 3 - x.
  • Para cada (x,y), z varia de 0 a 6 - 2x - 2y.
V = \int_{x=0}^{3} \int_{y=0}^{3 - x} \int_{z=0}^{6 - 2x - 2y} dz \, dy \, dx.

Resposta

V = \int_{0}^{3}\int_{0}^{3-x}\int_{0}^{6-2x-2y}dz\,dy\,dx.

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