4 { }^{a} Questão: Mostre que a integral de linha \int_{C} 2 \cos y d x+\left(\frac{1}{y}-2 x \operatorname{sen} y\right) d y+\frac{1}{z} d z independe do caminho, depois calcule a integral de \mathrm{A}(0,2,1) a \mathrm{B}\left(1, \frac{\pi}{2}, 2\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a integral de linha
\int_{C} 2\cos y\,dx \;+\;\Bigl(\tfrac1y - 2x\sin y\Bigr) dy \;+\;\tfrac1z\,dz
é independente do caminho e, em seguida, calcular essa integral de A(0,2,1) até B(1,\tfrac\pi2,2).
Conteúdo: integrais de linha em campos vetoriais conservativos. Precisaremos verificar que o campo é conservativo (curl nulo em domínio apropriado) e então encontrar sua função potencial.

Passo 2

Seja \mathbf F=(P,Q,R) com
P(x,y,z)=2\cos y,\quad Q(x,y,z)=\tfrac1y - 2x\sin y,\quad R(x,y,z)=\tfrac1z.
Calculamos as derivadas cruzadas:
\frac{\partial P}{\partial y}=-2\sin y, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=-2\sin y,
\frac{\partial P}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial R}{\partial x}=0,
\frac{\partial Q}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial R}{\partial y}=0.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x e as outras derivadas cruzadas também coincidem, \nabla\times\mathbf F=0. Escolhendo o domínio onde y>0 e z>0 (que é simplesmente conexo e contém A e B), concluímos que \mathbf F é conservativo e a integral independe do caminho.

Passo 3

Procuramos f(x,y,z) tal que \nabla f=\mathbf F.
Integrando P em relação a x:
f(x,y,z)=\int 2\cos y\,dx = 2x\cos y + g(y,z).
Derivando isso em y e igualando a Q:
\frac{\partial f}{\partial y} = -2x\sin y + \frac{\partial g}{\partial y} \;=\;\frac1y -2x\sin y \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=\frac1y.
Logo
g(y,z)=\ln y + h(z).
Derivando em z e igualando a R:
\frac{\partial f}{\partial z}=h'(z)=\frac1z \quad\Longrightarrow\quad h(z)=\ln z + C.
Assim a função potencial é
f(x,y,z)=2x\cos y + \ln y + \ln z + C.

Passo 4

Como a integral independe do caminho, temos
\int_{A}^{B}\mathbf F\cdot d\mathbf r = f\bigl(B\bigr)-f\bigl(A\bigr).
Em B(1,\tfrac\pi2,2):
f(B)=2\cdot1\cdot\cos\frac\pi2 + \ln\frac\pi2 + \ln2 + C = \ln\frac\pi2 + \ln2 + C.
Em A(0,2,1):
f(A)=2\cdot0\cdot\cos2 + \ln2 + \ln1 + C = \ln2 + C.
Portanto,
f(B)-f(A) =\Bigl(\ln\frac\pi2 + \ln2 + C\Bigr)-\Bigl(\ln2 + C\Bigr) =\ln\frac\pi2.

Resposta

\ln\frac\pi2

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