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Questão: Mostre que a integral de linha
independe do caminho, depois calcule a integral de
a
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a integral de linha
é independente do caminho e, em seguida, calcular essa integral de
até
.
Conteúdo: integrais de linha em campos vetoriais conservativos. Precisaremos verificar que o campo é conservativo (curl nulo em domínio apropriado) e então encontrar sua função potencial.
Conteúdo: integrais de linha em campos vetoriais conservativos. Precisaremos verificar que o campo é conservativo (curl nulo em domínio apropriado) e então encontrar sua função potencial.
Passo 2
Seja
com
Calculamos as derivadas cruzadas:
Como
e as outras derivadas cruzadas também coincidem,
. Escolhendo o domínio onde
e
(que é simplesmente conexo e contém
e
), concluímos que
é conservativo e a integral independe do caminho.
Passo 3
Procuramos
tal que
.
Integrando em relação a
:
Integrando
Derivando isso em
e igualando a
:
Logo
Derivando em
e igualando a
:
Assim a função potencial é
Passo 4
Como a integral independe do caminho, temos
Em
:
Em
:
Portanto,