\mathbf{1 3}^{\mathbf{a}} ) O esquema representa um recipiente R , contendo um gás, conectado com um tubo em U , com mercúrio e aberto para o exterior. Na situação de equilíbrio esquematizada, a altura H da coluna de mercúrio é 24 cm e a pressão atmosférica é 76 cmHg . Determine a pressão exercida pelo gás:
a) expressa em centímetros de mercúrio ( cmHg );
b) expressa em \mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}, sendo dadas a densidade do mercúrio
( d=13,6310^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) e a aceleração da gravidade ( g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a pressão exercida pelo gás em duas unidades: (a) em centímetros de mercúrio ( \text{cmHg}) e (b) em \text{N/m}^2 (Pa). As informações fornecidas são: \;H=24\\ \text{cm} (altura da diferença entre as superfícies do mercúrio no tubo em U) e \;P_{\text{atm}}=76\\ \text{cmHg}. Para a conversão para o SI foram dadas a densidade do mercúrio e a gravidade: \;\rho = 13{,}63\times10^{3}\\ \text{kg}\!/\!\text{m}^3 e \;g=9{,}8\\ \text{m}\!/\!\text{s}^2. \nAs perguntas são então: \n(a) qual é P_{\text{gás}}á em \text{cmHg}? \n(b) qual é P_{\text{gás}}á em \text{N/m}^2?

Passo 2

Conceito físico necessário (explicado passo a passo): em líquidos em equilíbrio a pressão varia com a profundidade segundo a fórmula de hidroestática
P = P_0 + \rho g h,
onde P é a pressão num ponto a uma profundidade h abaixo da superfície onde a pressão é P_0; \rho é a densidade do líquido e g é a aceleração da gravidade. Aqui o mercúrio é o líquido e suas superfícies nos dois ramos do U estão a alturas diferentes.

Passo 3

Aplicando ao tubo em U: escolha dois pontos no mesmo nível horizontal dentro do mercúrio (mesmo nível dentro do líquido a meio do U). A pressão nesse mesmo nível é a mesma em ambos os ramos. No ramo aberto a atmosfera, a pressão na superfície é P_{\text{atm}}. A superfície aberta fica mais alta que a superfície do lado do gás em uma altura H. Portanto, a pressão no nível comum medida a partir da superfície aberta é
P_{\text{no nível}} = P_{\text{atm}} + \rho g H.í
No lado do gás, a pressão do gás atua diretamente sobre a superfície do mercúrio naquele mesmo nível, logo
P_{\text{gás}} = P_{\text{no nível}}.áí
Combinando, obtemos a relação usada neste problema:
P_{\text{gás}} = P_{\text{atm}} + \rho g H.á

Passo 4

Cálculo em \text{cmHg} (parte a): como P_{\text{atm}} e H estão dados em centímetros de mercúrio, podemos somar as alturas diretamente (porque uma diferença de pressão correspondente a uma coluna de mercúrio de h cm equivale a h\\ \text{cmHg}). Assim:
P_{\text{gás}} = 76\\ \text{cmHg} + 24\\ \text{cmHg} = 100\\ \text{cmHg}.á
Explicação intuitiva: o gás precisa equilibrar a pressão atmosférica mais a coluna adicional de mercúrio de altura H, por isso fica maior que a atmosférica em 24\\ \text{cmHg}.

Passo 5

Preparação para converter para o SI (parte b): 100\\ \text{cmHg} é uma coluna de mercúrio de 100\\ \text{cm}=1{,}00\\ \text{m}. Pelo princípio hidrostático a pressão correspondente a uma coluna de mercúrio de altura h (em metros) é
P = \rho g h.
Logo, para h=1{,}00\\ \text{m},
P_{\text{gás}} = \rho g \cdot 1{,}00.á

Passo 6

Cálculo numérico em SI: use \rho = 13{,}63\times10^{3}\\ \text{kg}\!/\!\text{m}^3 e g=9{,}8\\ \text{m}\!/\!\text{s}^2. Então
P_{\text{gás}} = 13{,}63\times10^{3}\times 9{,}8 \times 1{,}00\\ \text{Pa}.á
Faça a multiplicação passo a passo:
13{,}63\times10^{3}\times 9{,}8 = 13{,}630 \times 9{,}8 \times 10^{3} = 133{,}574 \times 10^{0} \\ \text{Pa}.
Portanto
P_{\text{gás}} = 133{,}574\\ \text{Pa} \approx 1{,}3357\times10^{5}\\ \text{N/m}^2.á
(Arredondando para três algarismos significativos dá 1{,}34\times10^{5}\\ \text{N/m}^2.)

Resposta

(a) 100\\ \text{cmHg}
(b) 1{,}3357\times10^{5}\\ \text{N/m}^2

Exercícios relacionados