1. \mathbf{F}(x, y, z)=z \mathbf{i}+y \mathbf{j}-z x \mathbf{k}, S é a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=z\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}-zx\,\mathbf{k}
e a superfície S é a casca do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.
Pede-se o fluxo de \mathbf{F} através de S. Vamos usar o Teorema da Divergência para converter a integral de superfície numa integral de volume.

Passo 2

Calculemos a divergência de \mathbf{F}:
\mathrm{div}\,\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(z)+\frac{\partial}{\partial y}(y)+\frac{\partial}{\partial z}(-zx) =0+1-x =1-x.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
\iint_{S}\mathbf{F}\!\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{V}\bigl(1-x\bigr)\,dV =\iiint_{V}1\,dV\;-\;\iiint_{V}x\,dV.

Passo 4

O volume V do tetraedro com vértices em (0,0,0), (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c) é
\iiint_{V}1\,dV =\frac{abc}{6}.

Passo 5

A integral \displaystyle\iiint_{V}x\,dV pode ser obtida pelo fato de que a coordenada x média do tetraedro é \bar x=a/4. Logo,
\iiint_{V}x\,dV =\bar x\cdot\mathrm{Vol}(V) =\frac{a}{4}\cdot\frac{abc}{6} =\frac{a^2bc}{24}.

Passo 6

Substituindo em \displaystyle\iiint_{V}(1-x)\,dV, obtemos
\iiint_{V}1\,dV -\iiint_{V}x\,dV =\frac{abc}{6} -\frac{a^2bc}{24}.

Resposta

\iint_{S}\mathbf{F}\!\cdot d\mathbf{S} =\frac{abc}{6} -\frac{a^2bc}{24}.

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