\mathbf{3}^{\mathrm{a}} ) Determine o volume do solido que se encontra abaixo do plano 2 x-y+3 z=6 e acima do retângulo R=\{(x, y) / 1 \leq x \leq 3,0 \leq y \leq 4\}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Dado o plano \;2x - y + 3z = 6\;.
  • Dado o retângulo no plano xy
R=\{(x,y)\mid 1\le x\le 3,\;0\le y\le 4\}.
  • Pergunta: determinar o volume do sólido que está abaixo do plano e acima do retângulo R. Ou seja, para cada ponto (x,y)\in R o sólido vai do plano z=0 (o plano do retângulo, assumido como base no plano xy) até a superfície dada pelo plano fornecido. Preciso encontrar o volume total desse sólido.

Passo 2

Ideia de solução (conceito que vamos usar): o volume de um sólido acima de uma região R no plano xy e abaixo de uma superfície z=f(x,y) é dado pela integral dupla
\text{Volume}=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y) é a altura (ou seja, a coordenada z) da superfície sobre cada ponto (x,y) da região R. Vou aplicar exatamente isso: encontrar f(x,y) a partir da equação do plano e integrar sobre o retângulo R.

Passo 3

Resolver a equação do plano para a variável z (isso nos dá a função altura f(x,y)).
A equação do plano é
2x - y + 3z = 6.
Isolando z,
3z = 6 - 2x + y
e portanto
z = \frac{6 - 2x + y}{3}.
Logo, a função altura é f(x,y)=\dfrac{6-2x+y}{3}.

Passo 4

Montar a integral dupla sobre o retângulo R. Como R é um retângulo com 1\le x\le 3 e 0\le y\le 4, os limites são constantes e a integral fica
\text{Volume}=\iint_{R} \frac{6-2x+y}{3}\,dA =\int_{x=1}^{3}\int_{y=0}^{4} \frac{6-2x+y}{3}\,dy\,dx.
Explicação: a função integrada é a altura z sobre cada (x,y); multiplicando por uma pequena área dA e somando sobre R obtemos o volume.

Passo 5

Explorar linearidade e constantes para simplificar a conta. Podemos tirar a constante \dfrac{1}{3} para fora da integral:
\text{Volume}=\frac{1}{3}\int_{1}^{3}\int_{0}^{4} (6-2x+y)\,dy\,dx.
Agora vamos separar em três integrais somadas (linearidade da integral):
\int_{0}^{4}(6-2x+y)\,dy=\int_{0}^{4}6\,dy - \int_{0}^{4}2x\,dy + \int_{0}^{4}y\,dy.

Passo 6

Calcular cada uma das integrais internas passo a passo.
  1. Integral da constante 6 em y:
\int_{0}^{4}6\,dy = 6\cdot(4-0)=24.
  1. Integral de 2x em y (note que, ao integrar em y, x é tratado como constante):
\int_{0}^{4}2x\,dy = 2x\cdot(4-0)=8x.
  1. Integral de y em y:
\int_{0}^{4} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{4} = \frac{16}{2}=8.
Somando esses resultados para a integral interna:
\int_{0}^{4}(6-2x+y)\,dy = 24 - 8x + 8 = 32 - 8x.

Passo 7

Agora integrar em x (da expressão obtida) e lembrar do fator \dfrac{1}{3}:
\text{Volume}=\frac{1}{3}\int_{1}^{3} (32 - 8x)\,dx.
Calcule a integral em x:
\int_{1}^{3} (32 - 8x)\,dx = \left[32x - 4x^{2}\right]_{1}^{3}.
Avaliar em x=3 e x=1:
\left(32\cdot 3 - 4\cdot 3^{2}\right) - \left(32\cdot 1 - 4\cdot 1^{2}\right) = (96 - 36) - (32 - 4) = 60 - 28 = 32.

Passo 8

Multiplicar pelo fator \dfrac{1}{3} que estava fora:
\text{Volume}=\frac{1}{3}\cdot 32 = \frac{32}{3}.
Portanto o volume do sólido pedido é \dfrac{32}{3} (unidades cúbicas).

Resposta

\dfrac{32}{3}

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