\mathbf{3}^{\mathrm{a}} ) Determine o volume do solido que se encontra abaixo do plano 2 x-y+3 z=6 e acima do retângulo R=\{(x, y) / 1 \leq x \leq 3,0 \leq y \leq 4\}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dado o plano \;2x - y + 3z = 6\;.
Dado o retângulo no plano xy
R=\{(x,y)\mid 1\le x\le 3,\;0\le y\le 4\}.
Pergunta: determinar o volume do sólido que está abaixo do plano e acima do retângulo R. Ou seja, para cada ponto (x,y)\in R o sólido vai do plano z=0 (o plano do retângulo, assumido como base no plano xy) até a superfície dada pelo plano fornecido. Preciso encontrar o volume total desse sólido.
Passo 2
Ideia de solução (conceito que vamos usar): o volume de um sólido acima de uma região R no plano xy e abaixo de uma superfície z=f(x,y) é dado pela integral dupla
\text{Volume}=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y) é a altura (ou seja, a coordenada z) da superfície sobre cada ponto (x,y) da região R. Vou aplicar exatamente isso: encontrar f(x,y) a partir da equação do plano e integrar sobre o retângulo R.
Passo 3
Resolver a equação do plano para a variável z (isso nos dá a função altura f(x,y)).
A equação do plano é
2x - y + 3z = 6.
Isolando z,
3z = 6 - 2x + y
e portanto
z = \frac{6 - 2x + y}{3}.
Logo, a função altura é f(x,y)=\dfrac{6-2x+y}{3}.
Passo 4
Montar a integral dupla sobre o retângulo R. Como R é um retângulo com 1\le x\le 3 e 0\le y\le 4, os limites são constantes e a integral fica