Resolva o PVI
(6 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=0 ; y_{1}=e^{x / 3}).

Passo 1

O enunciado dá o problema
6y''+y'-y=0
e informa uma solução conhecida \,y_{1}=e^{x/3}.
O que se pede: resolver o problema — isto é, obter a solução geral da equação diferencial de segunda ordem homogênea dada, usando a informação disponível.
Informações relevantes: coeficientes constantes, equação linear homogênea de ordem 2, uma solução explícita conhecida.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática). Vou usar o método dos coeficientes constantes via equação característica porque os coeficientes da equação são constantes — esse é o caminho mais direto e simples. A ideia é procurar soluções do tipo \,y=e^{rx}\,. Substituir essa forma transforma a equação diferencial numa equação algébrica (a chamada equação característica) para a incógnita r. As raízes dessa equação nos dão exponentes r que geram soluções e^{rx}. Se obtivermos duas raízes reais distintas, então as funções e^{r_1 x} e e^{r_2 x} são linearmente independentes e geram a solução geral:
y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
Vou mostrar cada passo com calma.

Passo 3

Formação da equação característica. Supomos uma solução do tipo \,y=e^{rx}. Então
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx}.
Substituindo em \,6y''+y'-y=0 obtemos, fatorando e^{rx} que nunca é zero,
\bigl(6r^2 + r - 1\bigr)e^{rx}=0 \quad\Longrightarrow\quad 6r^2 + r - 1 = 0.
Portanto a equação característica é
6r^2 + r - 1 = 0.

Passo 4

Resolução da quadrática (passo a passo da fórmula). Para resolver
6r^2 + r - 1 = 0
usamos a fórmula quadrática \,r=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, onde a=6, b=1, c=-1. Calculamos o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 1 - 4\cdot 6\cdot(-1) = 1 + 24 = 25.
Então \sqrt{\Delta}=5 e
r=\dfrac{-1\pm 5}{2\cdot 6}=\dfrac{-1\pm 5}{12}.
Isso dá as duas raízes
r_1=\dfrac{-1+5}{12}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}, \qquad r_2=\dfrac{-1-5}{12}=\dfrac{-6}{12}=-\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Construção da solução geral e independência das soluções. Como obtivemos duas raízes reais distintas r_1=\tfrac{1}{3} e r_2=-\tfrac{1}{2}, as funções e^{r_1 x}=e^{x/3} e e^{r_2 x}=e^{-x/2} são soluções independentes da equação. Uma observação rápida sobre independência: o Wronskiano delas é (proporcional a) (r_2-r_1)e^{(r_1+r_2)x}, que não é identicamente zero quando r_1\neq r_2; portanto são linearmente independentes. Logo a solução geral é a combinação linear
y(x)=C_1 e^{x/3} + C_2 e^{-x/2},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Passo 6

Verificação rápida da coerência com a informação dada. O enunciado informou \,y_1=e^{x/3}. Essa função corresponde exatamente à raiz r_1=\tfrac{1}{3} que encontramos, então está tudo coerente. A outra solução encontrada é e^{-x/2} (pela raiz r_2=-\tfrac{1}{2}), e juntas formam a base da solução geral.

Resposta

y(x)=C_1 e^{x/3} + C_2 e^{-x/2}

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