Resolva o PVI
(6 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=0 ; y_{1}=e^{x / 3}).
(6 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=0 ; y_{1}=e^{x / 3}).
Passo 1
O enunciado dá o problema
e informa uma solução conhecida
.
O que se pede: resolver o problema — isto é, obter a solução geral da equação diferencial de segunda ordem homogênea dada, usando a informação disponível.
Informações relevantes: coeficientes constantes, equação linear homogênea de ordem 2, uma solução explícita conhecida.
O que se pede: resolver o problema — isto é, obter a solução geral da equação diferencial de segunda ordem homogênea dada, usando a informação disponível.
Informações relevantes: coeficientes constantes, equação linear homogênea de ordem 2, uma solução explícita conhecida.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática). Vou usar o método dos coeficientes constantes via equação característica porque os coeficientes da equação são constantes — esse é o caminho mais direto e simples. A ideia é procurar soluções do tipo
. Substituir essa forma transforma a equação diferencial numa equação algébrica (a chamada equação característica) para a incógnita
. As raízes dessa equação nos dão exponentes
que geram soluções
. Se obtivermos duas raízes reais distintas, então as funções
e
são linearmente independentes e geram a solução geral:
Vou mostrar cada passo com calma.
Passo 3
Formação da equação característica. Supomos uma solução do tipo
. Então
Substituindo em
obtemos, fatorando
que nunca é zero,
Portanto a equação característica é
Passo 4
Resolução da quadrática (passo a passo da fórmula). Para resolver
usamos a fórmula quadrática
, onde
,
,
. Calculamos o discriminante:
Então
e
Isso dá as duas raízes
Passo 5
Construção da solução geral e independência das soluções. Como obtivemos duas raízes reais distintas
e
, as funções
e
são soluções independentes da equação. Uma observação rápida sobre independência: o Wronskiano delas é (proporcional a)
, que não é identicamente zero quando
; portanto são linearmente independentes. Logo a solução geral é a combinação linear
com
constantes arbitrárias.
Passo 6
Verificação rápida da coerência com a informação dada. O enunciado informou
. Essa função corresponde exatamente à raiz
que encontramos, então está tudo coerente. A outra solução encontrada é
(pela raiz
), e juntas formam a base da solução geral.