3ª) Calcule a integral tripla \iiint(x+y) d V, onde E é o cilindro solido limitado por x^{2}+y^{2}=9 e pelos planos z=0 e z=5.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla \iiint_E (x+y)\,dV, onde E é o cilindro sólido limitado por \,x^{2}+y^{2}=9, e pelos planos \,z=0 e \,z=5.
Informações dadas: \;1. A região E é um cilindro reto com base circular de raio 3 (pois \,x^{2}+y^{2}=9 implica raio 3).\n \;2. As alturas do cilindro vão de \,z=0 até \,z=5.\n \;3. A função a integrar é \,f(x,y,z)=x+y.\n
O pedido é computar exatamente o valor numérico da integral tripla \displaystyle \iiint_{E} (x+y)\,dV.
Passo 2
Escolha do método: vou usar coordenadas cilíndricas (equivalente a usar coordenadas polares para a base e altura em z). Motivo: a região E é um cilindro circular (simetria radial), e coordenadas cilíndricas transformam a descrição do domínio em limites simples e introduzem o fator de volume adequado (r). Além disso, como checagem adicional, vou comentar a razão de simetria que já permite prever o resultado antes de computar: devido à simetria da base circular em torno da origem, as integrais de x e de y sobre a base são nulas — isso sugere que a integral total será 0. Mas faremos a conta completa em coordenadas para praticar o procedimento.
Passo 3
Lembrando as coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Agora os limites para E: a projeção no plano xy é o disco de raio 3, logo \,0\le r\le 3 e \,0\le\theta\le 2\pi. Para z temos \,0\le z\le 5.
Passo 4
Substituímos a integranda e o elemento de volume em coordenadas cilíndricas:
Multiplicando pelo fator 45 obtido antes, o valor da integral é 45\cdot 0 = 0.
Passo 8
Interpretação por simetria (checagem intuitiva): a base do cilindro é um disco centrado na origem. Para cada ponto (x,y,z) no cilindro existe o ponto (-x,y,z); esses dois contribuem com x e -x na integranda, cancelando-se. Portanto \displaystyle\iiint_E x\,dV=0. De modo idêntico, pontos (x,y,z) e (x,-y,z) fazem com que \displaystyle\iiint_E y\,dV=0. Assim \displaystyle\iiint_E (x+y)\,dV=0, concordando com a conta direta.