3ª) Calcule a integral tripla \iiint(x+y) d V, onde E é o cilindro solido limitado por x^{2}+y^{2}=9 e pelos planos z=0 e z=5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla \iiint_E (x+y)\,dV, onde E é o cilindro sólido limitado por \,x^{2}+y^{2}=9, e pelos planos \,z=0 e \,z=5.
Informações dadas:
\;1. A região E é um cilindro reto com base circular de raio 3 (pois \,x^{2}+y^{2}=9 implica raio 3).\n
\;2. As alturas do cilindro vão de \,z=0 até \,z=5.\n
\;3. A função a integrar é \,f(x,y,z)=x+y.\n
O pedido é computar exatamente o valor numérico da integral tripla \displaystyle \iiint_{E} (x+y)\,dV.

Passo 2

Escolha do método: vou usar coordenadas cilíndricas (equivalente a usar coordenadas polares para a base e altura em z). Motivo: a região E é um cilindro circular (simetria radial), e coordenadas cilíndricas transformam a descrição do domínio em limites simples e introduzem o fator de volume adequado ( r). Além disso, como checagem adicional, vou comentar a razão de simetria que já permite prever o resultado antes de computar: devido à simetria da base circular em torno da origem, as integrais de x e de y sobre a base são nulas — isso sugere que a integral total será 0. Mas faremos a conta completa em coordenadas para praticar o procedimento.

Passo 3

Lembrando as coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Agora os limites para E: a projeção no plano xy é o disco de raio 3, logo \,0\le r\le 3 e \,0\le\theta\le 2\pi. Para z temos \,0\le z\le 5.

Passo 4

Substituímos a integranda e o elemento de volume em coordenadas cilíndricas:
x+y = r\cos\theta + r\sin\theta,
(x+y)\,dV = \big(r\cos\theta + r\sin\theta\big)\,r\,dr\,d\theta\,dz = r^{2}\big(\cos\theta+\sin\theta\big)\,dr\,d\theta\,dz.
Portanto a integral fica
\iiint_{E} (x+y)\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3}\int_{z=0}^{5} r^{2}\big(\cos\theta+\sin\theta\big)\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos primeiro em relação a z. Como a integranda não depende de z, a integração em z só traz um fator 5:
\int_{z=0}^{5} r^{2}\big(\cos\theta+\sin\theta\big)\,dz = 5\,r^{2}\big(\cos\theta+\sin\theta\big).
Assim a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} 5\,r^{2}\big(\cos\theta+\sin\theta\big)\,dr\,d\theta.

Passo 6

Agora integramos em r. Calculamos
\int_{0}^{3} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{3} = \frac{3^{3}}{3} = \frac{27}{3} = 9.
Multiplicando pelo 5 que está fora, obtemos o fator numérico 5\cdot 9 = 45. Logo a integral fica
45 \int_{0}^{2\pi} \big(\cos\theta+\sin\theta\big)\,d\theta.

Passo 7

Integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \cos\theta\,d\theta = \left.\sin\theta\right|_{0}^{2\pi} = \sin(2\pi)-\sin(0)=0-0=0,
\int_{0}^{2\pi} \sin\theta\,d\theta = \left.-\cos\theta\right|_{0}^{2\pi} = -\cos(2\pi)+\cos(0)= -1+1=0.
Somando,
\int_{0}^{2\pi}\big(\cos\theta+\sin\theta\big)\,d\theta = 0+0 = 0.
Multiplicando pelo fator 45 obtido antes, o valor da integral é 45\cdot 0 = 0.

Passo 8

Interpretação por simetria (checagem intuitiva): a base do cilindro é um disco centrado na origem. Para cada ponto (x,y,z) no cilindro existe o ponto (-x,y,z); esses dois contribuem com x e -x na integranda, cancelando-se. Portanto \displaystyle\iiint_E x\,dV=0. De modo idêntico, pontos (x,y,z) e (x,-y,z) fazem com que \displaystyle\iiint_E y\,dV=0. Assim \displaystyle\iiint_E (x+y)\,dV=0, concordando com a conta direta.

Resposta

0

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