Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução da EDO
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. Temos a equação diferencial e as condições iniciais:
O pedido é encontrar uma segunda solução linearmente independente da EDO (isto é, além de uma solução que já conhecemos) usando redução de ordem, e então obter a solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
Passo 2
Preparação: ideia da redução de ordem (explicação didática).
Suponha que já conhecemos uma solução não nula da EDO homogênea. A redução de ordem procura uma segunda solução da forma
Suponha que já conhecemos uma solução não nula
onde
é uma função a determinar. A razão é que multiplicando uma solução por uma função podemos gerar soluções independentes; ao substituir na EDO o problema reduz a uma equação de ordem menor para
. A vantagem é que a equação original tem ordem 2, mas a equação para
será de ordem 1 — por isso “redução de ordem”.
Passo 3
Escolha e verificação da primeira solução conhecida.
Uma solução óbvia para é
Uma solução óbvia para
Verificação rápida:
logo
portanto
é de fato uma solução.
Passo 4
Substituição de
e derivação das equações auxiliares.
Calcule as derivadas:
Calcule as derivadas:
Substituindo em
obtemos
Como
satisfaz
, os termos com
cancelam, sobrando
Passo 5
Redução de ordem para uma equação de primeira ordem.
Defina . Então a equação do passo anterior vira
Defina
Escrevendo em forma padrão:
Isto é uma equação linear de primeira ordem para
, ou podemos tratar por separação:
Integrando,
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Integração para obter
e a segunda solução.
Temos
Temos
A constante aditiva
gera um termo
em
, que é apenas múltiplo de
(não gera solução independente), então podemos desprezar
quando buscamos uma segunda solução independente. Assim, basta tomar
Passo 7
Aplicação para
: cálculo explícito do integral.
Para temos
Para
Então
Fazendo a substituição simples (ou recordando a derivada de
):
Portanto, escolhendo
(escolha conveniente para eliminar o fator
), obtemos
Logo a segunda solução é
Assim uma segunda solução linearmente independente é
.
Passo 8
Construção da solução geral da EDO e uso das condições iniciais.
Como e
são soluções independentes, a solução geral é
Como
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, em
:
Como
, obtemos
A derivada é
Em
:
Como
, obtemos
Resposta
Segunda solução:
.\nSolução que satisfaz
:
.