Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução da EDO
y^{\prime \prime}+16 y=0 ; y(0)=2 ; y^{\prime}(0)=-2

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. Temos a equação diferencial e as condições iniciais:
y''+16y=0,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=-2.
O pedido é encontrar uma segunda solução linearmente independente da EDO (isto é, além de uma solução que já conhecemos) usando redução de ordem, e então obter a solução que satisfaz as condições iniciais dadas.

Passo 2

Preparação: ideia da redução de ordem (explicação didática).
Suponha que já conhecemos uma solução não nula y_1(x) da EDO homogênea. A redução de ordem procura uma segunda solução da forma
y_2(x)=u(x)\,y_1(x),
onde u(x) é uma função a determinar. A razão é que multiplicando uma solução por uma função podemos gerar soluções independentes; ao substituir na EDO o problema reduz a uma equação de ordem menor para u. A vantagem é que a equação original tem ordem 2, mas a equação para u' será de ordem 1 — por isso “redução de ordem”.

Passo 3

Escolha e verificação da primeira solução conhecida.
Uma solução óbvia para \,y''+16y=0 é
y_1(x)=\cos(4x).
Verificação rápida:
y_1''(x)=\frac{d^2}{dx^2}\cos(4x)=-16\cos(4x),
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y_1''+16y_1=-16\cos(4x)+16\cos(4x)=0,
portanto y_1 é de fato uma solução.

Passo 4

Substituição de y_2=u y_1 e derivação das equações auxiliares.
Calcule as derivadas:
y_2'=u' y_1+u y_1',
y_2''=u'' y_1+2u' y_1'+u y_1''.
Substituindo em \,y''+16y=0 obtemos
u'' y_1+2u' y_1'+u y_1''+16u y_1=0.
Como y_1 satisfaz y_1''+16y_1=0, os termos com u cancelam, sobrando
u'' y_1+2u' y_1'=0.

Passo 5

Redução de ordem para uma equação de primeira ordem.
Defina w(x)=u'(x). Então a equação do passo anterior vira
w' y_1+2w y_1'=0.
Escrevendo em forma padrão:
w' + 2\frac{y_1'}{y_1}\,w = 0.
Isto é uma equação linear de primeira ordem para w, ou podemos tratar por separação:
\frac{w'}{w} = -2\frac{y_1'}{y_1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dw}{w} = -2\frac{dy_1}{y_1}.
Integrando,
\ln|w| = -2\ln|y_1| + C_1 \quad\Longrightarrow\quad w = u' = \frac{C}{y_1^2},
onde C=e^{C_1} é constante arbitrária.

Passo 6

Integração para obter u e a segunda solução.
Temos
u(x)=\int w(x)\,dx = C\int \frac{dx}{y_1(x)^2} + C_2.
A constante aditiva C_2 gera um termo C_2 y_1 em y_2=u y_1, que é apenas múltiplo de y_1 (não gera solução independente), então podemos desprezar C_2 quando buscamos uma segunda solução independente. Assim, basta tomar
u(x)=C\int \frac{dx}{y_1(x)^2}.

Passo 7

Aplicação para y_1(x)=\cos(4x): cálculo explícito do integral.
Para y_1=\cos(4x) temos
\frac{1}{y_1^2}=\operatorname{sec}^2(4x).
Então
\int \frac{dx}{y_1^2}=\int \operatorname{sec}^2(4x)\,dx.
Fazendo a substituição simples (ou recordando a derivada de \tan):
\int \operatorname{sec}^2(4x)\,dx = \frac{1}{4}\tan(4x) + \text{const}.
Portanto, escolhendo C=4 (escolha conveniente para eliminar o fator 1/4), obtemos
u(x)=\tan(4x).
Logo a segunda solução é
y_2(x)=y_1(x)\,u(x)=\cos(4x)\tan(4x)=\sin(4x).
Assim uma segunda solução linearmente independente é \sin(4x).

Passo 8

Construção da solução geral da EDO e uso das condições iniciais.
Como \cos(4x) e \sin(4x) são soluções independentes, a solução geral é
y(x)=C_1\cos(4x)+C_2\sin(4x).
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, em x=0:
y(0)=C_1\cos(0)+C_2\sin(0)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
Como y(0)=2, obtemos
C_1=2.
A derivada é
y'(x)=-4C_1\sin(4x)+4C_2\cos(4x).
Em x=0:
y'(0)=-4C_1\sin(0)+4C_2\cos(0)=4C_2.
Como y'(0)=-2, obtemos
4C_2=-2 \quad\Longrightarrow\quad C_2=-\tfrac{1}{2}.

Resposta

Segunda solução: y_2(x)=\sin(4x).\nSolução que satisfaz y(0)=2,\;y'(0)=-2: y(x)=2\cos(4x)-\frac{1}{2}\sin(4x).

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