(2,0 pt) Quando o deslocamento em um MHS é de x=A / 4, que fração da energia é (a) energia cinética e (b) energia potencial? (c) Para que deslocamentos, em fração da amplitude, a energia do sistema é metade energia cinética e metade energia potencial?

Passo 1

O enunciado trata de um movimento harmônico simples (MHS) de amplitude A e constante elástica k. A energia mecânica total
E = \frac{1}{2}kA^2
é constante. Precisamos achar, quando x = A/4, as frações de E que são (a) energia cinética K e (b) energia potencial U. Em seguida, em (c) vamos determinar para quais deslocamentos x/A vale K = U.

Passo 2

Em qualquer instante no MHS temos
U(x) = \frac{1}{2}kx^2
e, como K = E - U,
K(x) = E - U(x) = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{2}kx^2.
Logo as frações da energia total são
\frac{U}{E} = \frac{\tfrac{1}{2}kx^2}{\tfrac{1}{2}kA^2} = \frac{x^2}{A^2}, \qquad \frac{K}{E} = 1 - \frac{x^2}{A^2}.

Passo 3

Para x = A/4 temos
\frac{U}{E} = \Bigl(\frac{A/4}{A}\Bigr)^{2} = \frac{1}{16},
\frac{K}{E} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}.

Passo 4

Queremos K = U, ou seja \tfrac{U}{E} = \tfrac{1}{2}. Assim
\frac{x^2}{A^2} = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{A} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.
Em módulo, a fração do deslocamento é x/A = 1/\sqrt{2}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{K}{E} = \frac{15}{16}.\n(b) \displaystyle \frac{U}{E} = \frac{1}{16}.\n(c) \displaystyle \frac{x}{A} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

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