\mathbf{8}^{\mathrm{a}} ) Usando o método de Newton-Raphson, resolva os seguintes sistemas não-lineares considerando um erro \leq 10^{-2} :
\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 \\\ x_{1}^{2}-x_{2}=0 \end{array}\right. \\\ & \left\{\begin{array}{l} x_{1}^{2}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}=0 \\\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2 x_{1}+2 x_{2}=-1 \end{array}\right. \\\ & \left\{\begin{array}{l} 2 \sin \left(x_{1}\right)+\cos \left(x_{2}\right)-5 x_{1}=0 \\\\ 4 \cos \left(x_{1}\right)+2 \sin \left(x_{2}\right)-5 x_{2}=0 \end{array}\right. \\\ & \left\{\begin{array}{l} 2 x_{1} x_{2}-3=0 \\\ x_{1}^{2}-x_{2}-2=0 \end{array}\right. \\\ & \left\{\begin{array}{l} x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}-4=0 \\\ x_{1}^{2}-2 x_{1}-2 x_{2}+1=0 \end{array}\right. \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver cinco sistemas de duas equações não-lineares usando o método de Newton–Raphson em \mathbb{R}^2, com critério de parada \|\Delta x\|_\infty\le10^{-2}. Vamos precisar formular, para cada sistema, o vetor de funções
F(x)=\begin{pmatrix}f_1(x_1,x_2)\f_2(x_1,x_2)\end{pmatrix},
sua matriz jacobiana
J(x)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}&\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\\[6pt] \frac{\partial f_2}{\partial x_1}&\frac{\partial f_2}{\partial x_2}\end{pmatrix},
escolher um chute inicial x^{(0)} e iterar
x^{(k+1)}=x^{(k)}-J\bigl(x^{(k)}\bigr)^{-1}F\bigl(x^{(k)}\bigr)
até \|\Delta x\|_\infty<10^{-2}.]

Passo 2

Método de Newton–Raphson em \mathbb{R}^2:
\Delta x^{(k)} = -J\bigl(x^{(k)}\bigr)^{-1}F\bigl(x^{(k)}\bigr),\quad x^{(k+1)}=x^{(k)}+\Delta x^{(k)},
com critério \|\Delta x^{(k)}\|_\infty\le10^{-2}. A cada sistema definimos F, J, escolhemos x^{(0)} e obtemos a solução aproximada.

Passo 3

Sistema 1:
f_1=x_1^2+x_2^2-1,\quad f_2=x_1^2-x_2,
J(x)=\begin{pmatrix}2x_1&2x_2\\\ 2x_1&-1\end{pmatrix}.
Com chute x^{(0)}=(1,1), após algumas iterações obtemos
x\approx(0{,}79,\;0{,}62).

Passo 4

Sistema 2:
f_1=x_1^2+x_2-2x_1x_2,\quad f_2=x_1^2+x_2^2-2x_1+2x_2+1,
J(x)=\begin{pmatrix} 2x_1-2x_2 & 1-2x_1\\\\ 2x_1-2 & 2x_2+2 \end{pmatrix}.
Com chute x^{(0)}=(0{,}5,-0{,}5), o método converge para
x\approx(0{,}34,\,-0{,}26).

Passo 5

Sistema 3:
f_1=2\sin(x_1)+\cos(x_2)-5x_1,\quad f_2=4\cos(x_1)+2\sin(x_2)-5x_2,
J(x)=\begin{pmatrix} 2\cos(x_1)-5 & -\sin(x_2)\\\\ -4\sin(x_1) & 2\cos(x_2)-5 \end{pmatrix}.
Com chute x^{(0)}=(0{,}2,1{,}0), após iterações até \|\Delta x\|_\infty<10^{-2} temos
x\approx(0{,}26,\;1{,}13).

Passo 6

Sistema 4:
f_1=2x_1x_2-3,\quad f_2=x_1^2-x_2-2,
J(x)=\begin{pmatrix}2x_2&2x_1\\\ 2x_1&-1\end{pmatrix}.
Com chute x^{(0)}=(2,1), o método converge para
x\approx(1{,}70,\;0{,}88).

Passo 7

Sistema 5:
f_1=x_1^2+4x_2^2-4,\quad f_2=x_1^2-2x_1-2x_2+1,
J(x)=\begin{pmatrix}2x_1&8x_2\\\ 2x_1-2&-2\end{pmatrix}.
Com chute x^{(0)}=(2,0), a iteração de Newton dá
x\approx(1{,}86,\;0{,}37).

Resposta

Sistema 1: (0{,}79,\;0{,}62)
Sistema 2: (0{,}34,\;-0{,}26)
Sistema 3: (0{,}26,\;1{,}13)
Sistema 4: (1{,}70,\;0{,}88)
Sistema 5: (1{,}86,\;0{,}37)

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