Prove que
, sendo
:
Passo 1
O enunciado pede para provar, para
, a dupla desigualdade
Aqui vamos usar a definição do módulo de um número complexo e propriedades básicas do valor absoluto real. Em particular, lembramos que
e que para quaisquer reais
vale sempre
e, quando os dois lados de uma desigualdade são não negativos, podemos elevá-los ao quadrado sem invertê-la.
Passo 2
Prova de
.
Como , elevamos ao quadrado e obtemos
Como
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (mantendo a desigualdade porque tudo é não negativo) dá
ou seja,
.
Passo 3
Prova de
.
Também elevamos ao quadrado as duas expressões (ambas não negativas):
Também elevamos ao quadrado as duas expressões (ambas não negativas):
Para concluir que
basta ver que
o que decorre de
. Assim
e, extraindo raiz quadrada, vem
Resposta
As desigualdades estão demonstradas: