Prove que |z| \leq|x|+|y| \leq \sqrt{2}|z|, sendo z=x+i y :

Passo 1

O enunciado pede para provar, para z = x + i y, a dupla desigualdade
|z| \le |x| + |y| \le \sqrt{2}\,|z|.
Aqui vamos usar a definição do módulo de um número complexo e propriedades básicas do valor absoluto real. Em particular, lembramos que
|z| = \sqrt{x^2 + y^2},
e que para quaisquer reais a,b vale sempre |a+b|\le|a|+|b| e, quando os dois lados de uma desigualdade são não negativos, podemos elevá-los ao quadrado sem invertê-la.

Passo 2

Prova de |z| \le |x| + |y|.
Como |x|+|y|\ge0, elevamos ao quadrado e obtemos
\bigl(|x|+|y|\bigr)^{2} = x^{2}+2\,|x|\,|y|+y^{2} \ge x^{2}+y^{2}.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (mantendo a desigualdade porque tudo é não negativo) dá
|x|+|y|\;\ge\;\sqrt{x^{2}+y^{2}} =\;|z|,
ou seja, |z|\le|x|+|y|.

Passo 3

Prova de |x| + |y| \le \sqrt{2}\,|z|.
Também elevamos ao quadrado as duas expressões (ambas não negativas):
\bigl(|x|+|y|\bigr)^{2} = x^{2}+2\,|x|\,|y|+y^{2} \quad\text{e}\quad \bigl(\sqrt{2}\,|z|\bigr)^{2} =2\,(x^{2}+y^{2}).
Para concluir que \bigl(|x|+|y|\bigr)^{2}\le2(x^2+y^2) basta ver que
2\,|x|\,|y|\;\le\;x^{2}+y^{2},
o que decorre de (x-y)^{2}\ge0. Assim
x^{2}+2\,|x|\,|y|+y^{2}\;\le\;2x^{2}+2y^{2},
e, extraindo raiz quadrada, vem
|x|+|y|\;\le\;\sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}} =\;\sqrt{2}\,|z|.

Resposta

As desigualdades estão demonstradas:
|z|\le|x|+|y|\le\sqrt{2}\,|z|.

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