\mathbf{3}^{\mathbf{a}} ) Misturam-se massas iguais de dois líquidos de densidade \mathrm{d}_{1}=0,5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e \mathrm{d}_{2}=0,7 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Determine a densidade da mistura, suposta homogênea.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a densidade da mistura homogênea obtida ao misturar massas iguais de dois líquidos.
Dados fornecidos:
\mathrm{d}_{1}=0,5\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3} (densidade do líquido 1)
\mathrm{d}_{2}=0,7\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3} (densidade do líquido 2)
As massas misturadas são iguais (ou seja, massa do líquido 1 = massa do líquido 2).
A pergunta: qual é a densidade da mistura homogênea?

Passo 2

Conceito importante: densidade é definida como massa dividida pelo volume. Vou escrever isso em fórmulas e explicar cada símbolo:
d=\frac{m}{V}
onde \,d é a densidade, \,m é a massa e \,V é o volume ocupado. Isso significa que, para um certo líquido, se eu conheço a massa que tenho e a densidade, eu consigo calcular o volume por
V=\frac{m}{d}.
Aqui \,d tem unidade \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}, \,m tem unidade \mathrm{g} e \,V tem unidade \mathrm{cm}^{3}.

Passo 3

Como as massas são iguais, chamo cada uma de \,m. Então:
  • massa do líquido 1: \,m_{1}=m,
  • massa do líquido 2: \,m_{2}=m.
Os volumes correspondentes são (usando V=m/d):
V_{1}=\frac{m}{\mathrm{d}_{1}},\qquad V_{2}=\frac{m}{\mathrm{d}_{2}}.

Passo 4

A densidade da mistura homogênea é a razão entre a massa total e o volume total:
\mathrm{d}_{\text{mistura}}=\frac{m_{1}+m_{2}}{V_{1}+V_{2}}.
Substituindo m_{1}=m_{2}=m e V_{1},V_{2} das fórmulas anteriores:
\mathrm{d}_{\text{mistura}}=\frac{m+m}{\dfrac{m}{\mathrm{d}_{1}}+\dfrac{m}{\mathrm{d}_{2}}} =\frac{2m}{m\!\left(\dfrac{1}{\mathrm{d}_{1}}+\dfrac{1}{\mathrm{d}_{2}}\right)}.
Cancelando m do numerador e do denominador:
\mathrm{d}_{\text{mistura}}=\frac{2}{\dfrac{1}{\mathrm{d}_{1}}+\dfrac{1}{\mathrm{d}_{2}}}.
Observação didática: essa fórmula mostra que, para massas iguais, a densidade da mistura é a média harmônica das densidades \mathrm{d}_{1} e \mathrm{d}_{2}.

Passo 5

Agora aplico os valores numéricos. Primeiro calculo os recíprocos:
\frac{1}{\mathrm{d}_{1}}=\frac{1}{0,5}=2, \qquad \frac{1}{\mathrm{d}_{2}}=\frac{1}{0,7}=\frac{10}{7}.
Somando:
\frac{1}{\mathrm{d}_{1}}+\frac{1}{\mathrm{d}_{2}}=2+\frac{10}{7}=\frac{14}{7}+\frac{10}{7}=\frac{24}{7}.
Logo
\mathrm{d}_{\text{mistura}}=\frac{2}{\dfrac{24}{7}}=2\cdot\frac{7}{24}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}.

Passo 6

Interpretação final e aproximação decimal: a fração \frac{7}{12} corresponde aproximadamente a 0,5833\ldots. Em unidades:
\mathrm{d}_{\text{mistura}}=\frac{7}{12}\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}\approx 0,5833\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}.
Dica de prova: para misturas de massas iguais, basta calcular os recíprocos das densidades, tirar a média aritmética desses recíprocos (aqui média de dois valores é \tfrac{1}{2}(\tfrac{1}{d_1}+\tfrac{1}{d_2})) e então tomar o recíproco final; isso é equivalente à fórmula usada.

Resposta

\displaystyle \mathrm{d}_{\text{mistura}}=\frac{7}{12}\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}\approx 0,5833\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}

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