\mathbf{P}_{5.5} Movimento em um plano inclinado sem atrito. Um bloco desliza por um plano sem atrito com uma inclinação de \theta=30,0^{\circ}. O bloco começa seu movimento a partir do repouso no topo do plano inclinado, cujo comprimento é de 3,50 \mathrm{~m}.
(a) Desenhe um diagrama de corpo livre do bloco.
(b) Encontre o módulo da aceleração do bloco.
(c) Determine sua velocidade ao chegar ao final do plano inclinado.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Desenhar um diagrama de corpo livre do bloco.
  • (b) Encontrar o módulo da aceleração do bloco.
  • (c) Determinar a velocidade do bloco ao chegar ao final do plano inclinado.
Informações fornecidas:
  • Ângulo do plano: \theta=30,0^\circ.
  • Comprimento do plano (distância ao longo da superfície): s=3,50\\ \mathrm{m}.
  • O bloco parte do repouso (velocidade inicial v_0=0).
  • Não há atrito (plano sem atrito).
  • Não foi dada massa, então a resposta para a aceleração deve ser independente da massa.
  • Usaremos a aceleração da gravidade padrão \,g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Diagrama de corpo livre (descrição verbal do que desenhar — aqui explico o que o diagrama deve mostrar):
  • Desenhe o bloco sobre uma superfície inclinada com inclinação \theta.
  • A partir do centro do bloco, desenhe o vetor peso \vec{P} apontando verticalmente para baixo, com módulo \,mg.
  • Desenhe a normal \vec{N} aplicada no ponto de contato, perpendicular à superfície inclinada, apontando para fora do plano (isto é, perpendicular ao plano, para cima).
  • Não desenhe força de atrito (pois o enunciado diz “sem atrito”).
  • Para facilitar as equações, desenhe também as componentes do peso: a componente paralela à superfície, \,mg\sin\theta, apontando para baixo ao longo do plano; e a componente perpendicular à superfície, \,mg\cos\theta, apontando para dentro do plano.
Observação: isso é exatamente o que o “diagrama de corpo livre” deve conter — peso, normal e (no caso) nenhuma força de atrito, com as componentes do peso desenhadas.

Passo 3

Explicando por que e como decompomos o peso em duas componentes (aulasinha rápida):
  • O peso \vec{P} tem direção vertical; para aplicar as leis de Newton com facilidade, escolhemos eixos alinhados com o plano: um eixo paralelo à superfície (eixo x ao longo do plano) e outro perpendicular à superfície (eixo y).
  • A trigonometria simples mostra que a componente do peso paralela ao plano é \,mg\sin\theta e a componente perpendicular é \,mg\cos\theta.
  • Por que? Imagine um triângulo retângulo formado por mg e suas componentes; o ângulo entre mg e a normal ao plano é \theta, daí as razões trigonométricas:
    • Paralela: \sin\theta = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{mg_{\parallel}}{mg}\Rightarrow mg_{\parallel}=mg\sin\theta.
    • Perpendicular: \cos\theta = \dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{mg_{\perp}}{mg}\Rightarrow mg_{\perp}=mg\cos\theta.

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton para achar a aceleração:
  • Escolhemos o eixo positivo para baixo ao longo do plano (na direção em que o bloco desliza).
  • Soma das forças no eixo paralelo ao plano: \sum F_{x}=mg\sin\theta - (\text{nenhuma outra força paralela}) = m a.çAqui, m é a massa do bloco (desconhecida), a é a aceleração ao longo do plano, e mg\sin\theta é a força resultante para baixo ao longo do plano.
  • Isolando a: a = g\sin\theta.Explicação das variáveis: a é a aceleração escalar (módulo), g é a aceleração da gravidade e \theta é o ângulo do plano.

Passo 5

Cálculo numérico da aceleração para \theta=30,0^\circ:
  • Sabemos que \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}.
  • Substituindo: a = g\sin\theta = 9,80\\ \mathrm{m/s^2}\times \tfrac{1}{2}.
  • Portanto: a = 4,90\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Determinando a velocidade ao final do plano usando cinemática (explicação do método):
  • Como a aceleração ao longo do plano é constante e o bloco parte do repouso, podemos usar a equação de cinemática que relaciona velocidade final v, aceleração a e distância percorrida s: v^{2}=v_{0}^{2}+2 a s.Aqui v_0 é a velocidade inicial (aqui v_0=0), a é a aceleração constante que já encontramos, e s é o deslocamento ao longo do plano (aqui s=3,50\\ \mathrm{m}).
  • Substituindo os valores: v^{2}=0 + 2\cdot 4,90\\ \mathrm{m/s^2}\cdot 3,50\\ \mathrm{m}.
  • Calculemos o produto: 2\cdot 4,90\cdot 3,50 = 34,3.
  • Logo: v=\sqrt{34,3}\approx 5,857\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando de forma razoável (duas casas decimais): v\approx 5,86\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Verificação alternativa (curtinha, para ganhar confiança): energia mecânica
  • A perda de energia potencial é mg h com h altura vertical descida; aqui h = s\sin\theta = 3,50\\ \mathrm{m}\times \tfrac{1}{2} = 1,75\\ \mathrm{m}.
  • Conservação de energia (sem atrito) dá \tfrac{1}{2} m v^2 = mg h \Rightarrow v=\sqrt{2 g h}.
  • Substituindo: v=\sqrt{2\cdot 9,80\cdot 1,75}=\sqrt{34,3}, que confirma o valor anterior v\approx 5,86\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) Forças no diagrama de corpo livre: \vec{P}=m\vec{g} para baixo; \vec{N} normal ao plano (perpendicular à superfície); não existe força de atrito. Componentes do peso: mg\sin\theta ao longo do plano (para baixo) e mg\cos\theta perpendicular ao plano.\n
(b) a=4,90\\ \mathrm{m/s^2}\n
(c) v=5,86\\ \mathrm{m/s}

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