Movimento em um plano inclinado sem atrito. Um bloco desliza por um plano sem atrito com uma inclinação de
. O bloco começa seu movimento a partir do repouso no topo do plano inclinado, cujo comprimento é de
.
(a) Desenhe um diagrama de corpo livre do bloco.
(b) Encontre o módulo da aceleração do bloco.
(c) Determine sua velocidade ao chegar ao final do plano inclinado.
(a) Desenhe um diagrama de corpo livre do bloco.
(b) Encontre o módulo da aceleração do bloco.
(c) Determine sua velocidade ao chegar ao final do plano inclinado.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Desenhar um diagrama de corpo livre do bloco.
- (b) Encontrar o módulo da aceleração do bloco.
- (c) Determinar a velocidade do bloco ao chegar ao final do plano inclinado.
Informações fornecidas:
- Ângulo do plano:
. - Comprimento do plano (distância ao longo da superfície):
. - O bloco parte do repouso (velocidade inicial
). - Não há atrito (plano sem atrito).
- Não foi dada massa, então a resposta para a aceleração deve ser independente da massa.
- Usaremos a aceleração da gravidade padrão
.
Passo 2
Diagrama de corpo livre (descrição verbal do que desenhar — aqui explico o que o diagrama deve mostrar):
- Desenhe o bloco sobre uma superfície inclinada com inclinação
. - A partir do centro do bloco, desenhe o vetor peso
apontando verticalmente para baixo, com módulo . - Desenhe a normal
aplicada no ponto de contato, perpendicular à superfície inclinada, apontando para fora do plano (isto é, perpendicular ao plano, para cima). - Não desenhe força de atrito (pois o enunciado diz “sem atrito”).
- Para facilitar as equações, desenhe também as componentes do peso: a componente paralela à superfície,
, apontando para baixo ao longo do plano; e a componente perpendicular à superfície, , apontando para dentro do plano.
Observação: isso é exatamente o que o “diagrama de corpo livre” deve conter — peso, normal e (no caso) nenhuma força de atrito, com as componentes do peso desenhadas.
Passo 3
Explicando por que e como decompomos o peso em duas componentes (aulasinha rápida):
- O peso
tem direção vertical; para aplicar as leis de Newton com facilidade, escolhemos eixos alinhados com o plano: um eixo paralelo à superfície (eixo x ao longo do plano) e outro perpendicular à superfície (eixo y). - A trigonometria simples mostra que a componente do peso paralela ao plano é
e a componente perpendicular é . - Por que? Imagine um triângulo retângulo formado por
e suas componentes; o ângulo entre e a normal ao plano é , daí as razões trigonométricas: - Paralela:
- Perpendicular:
- Paralela:
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton para achar a aceleração:
- Escolhemos o eixo positivo para baixo ao longo do plano (na direção em que o bloco desliza).
- Soma das forças no eixo paralelo ao plano:
Aqui, é a massa do bloco (desconhecida), é a aceleração ao longo do plano, e é a força resultante para baixo ao longo do plano. - Isolando
: Explicação das variáveis: é a aceleração escalar (módulo), é a aceleração da gravidade e é o ângulo do plano.
Passo 5
Cálculo numérico da aceleração para
:
- Sabemos que
. - Substituindo:
- Portanto:
Passo 6
Determinando a velocidade ao final do plano usando cinemática (explicação do método):
- Como a aceleração ao longo do plano é constante e o bloco parte do repouso, podemos usar a equação de cinemática que relaciona velocidade final
, aceleração e distância percorrida : Aqui é a velocidade inicial (aqui ), é a aceleração constante que já encontramos, e é o deslocamento ao longo do plano (aqui ). - Substituindo os valores:
- Calculemos o produto:
- Logo:
- Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
Passo 7
Verificação alternativa (curtinha, para ganhar confiança): energia mecânica
- A perda de energia potencial é
com altura vertical descida; aqui . - Conservação de energia (sem atrito) dá
. - Substituindo:
, que confirma o valor anterior .
Resposta
(a) Forças no diagrama de corpo livre:
para baixo;
normal ao plano (perpendicular à superfície); não existe força de atrito. Componentes do peso:
ao longo do plano (para baixo) e
perpendicular ao plano.\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)