Para n>=1, pode-se provar que S_{n}=\sum_{i=1}^{n} i ! é um número ímpar?
Verdadeiro Falso

Passo 1

O enunciado pergunta se, para todo n\ge1,
S_{n} = \sum_{i=1}^{n} i!
é sempre um número ímpar.
O conteúdo envolvido é análise de paridade (módulo 2) de somas de inteiros.

Passo 2

Note que, para todo i\ge2, o fatorial i! contém o fator 2, logo é um número par. Em notação de congruências:
i!\equiv0\pmod{2}\quad\text{para todo }i\ge2.

Passo 3

Portanto
S_{n} = 1! + \sum_{i=2}^{n}i! \equiv 1 + \underbrace{0 + 0 + \cdots + 0}_{n-1\text{ termos}} \equiv 1\pmod{2},
o que mostra que S_{n} é sempre ímpar.

Resposta

Verdadeiro.

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