(
)- Sejam
um campo conservativo contínuo e
sua função potencial, mostre que para qualquer curva suave
, parametrizada no intervalo
, temos:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um campo vetorial conservativo contínuo e
é sua função potencial, então para qualquer curva suave
parametrizada no intervalo
vale:
Informações fornecidas:
-
é conservativo e contínuo. -
é uma função potencial de (ou seja, é o gradiente de ). -
é uma curva suave, com parametrização , onde é diferenciável e é contínua em .
A tarefa é provar a igualdade acima usando essas informações.
Passo 2
Definição e expressão do integral de linha por parametrização.
Quando temos uma curva parametrizada por
em
, o integral de linha do campo vetorial
ao longo de
é definido por
Quando temos uma curva
Explicando cada símbolo:
-
é a parametrização da curva; cada é uma função real de . -
é a derivada componente a componente. -
é o vetor avaliado no ponto . - O produto escalar
é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
A suavidade degarante que exista e seja contínua, de modo que a integral acima faça sentido.
Passo 3
Uso da hipótese “conservativo” e relação com função potencial.
Por hipótese, é conservativo e
é sua função potencial. Isso significa que, para todo ponto
no domínio considerado,
Por hipótese,
Aqui
é o vetor gradiente de
em
, cujas componentes são as derivadas parciais:
Substituindo na expressão do integral de linha obtemos
Passo 4
Aplicação da regra da cadeia à composição
.
Definimos a função escalar
Definimos a função escalar
ou seja,
é a composição de
com a parametrização
. Pela regra da cadeia (em forma componente a componente), a derivada de
é
Mas a soma à direita é exatamente o produto escalar entre
e
. Portanto
Como
, temos também
Observação didática: escrever a regra da cadeia em componentes deixa claro por que o produto escalar aparece — cada derivada parcial multiplica a taxa de variação da coordenada correspondente.
Passo 5
Troca no integral e uso do Teorema Fundamental do Cálculo.
Substituindo a expressão de na integral do Passo 2 obtemos
Substituindo a expressão de
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo (que diz que a integral da derivada nos dá a diferença de valores da função): como
é diferenciável em
e
é contínua, vale
Voltando à definição de
, isso significa
Passo 6
Conclusão final — escrito claramente.
Juntando os passos anteriores chegamos à identidade desejada:
Juntando os passos anteriores chegamos à identidade desejada:
Interpretação prática: o integral de linha de um campo conservativo depende apenas dos pontos finais da curva, não do caminho percorrido. Isso é exatamente o que acabamos de provar através da parametrização, da regra da cadeia e do Teorema Fundamental do Cálculo.