( \mathbf{1 , 5} \mathbf{p} )- Sejam F um campo conservativo contínuo e f sua função potencial, mostre que para qualquer curva suave C, parametrizada no intervalo [a, b], temos:
\int_{C} F \cdot d r=f(r(b))-f(r(a))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se F é um campo vetorial conservativo contínuo e f é sua função potencial, então para qualquer curva suave C parametrizada no intervalo [a,b] vale:
\int_{C} F\cdot d r = f(r(b)) - f(r(a)).
Informações fornecidas:
  • F é conservativo e contínuo.
  • f é uma função potencial de F (ou seja, F é o gradiente de f).
  • C é uma curva suave, com parametrização r:[a,b]\to\mathbb{R}^n, onde r é diferenciável e r'(t) é contínua em [a,b].
    A tarefa é provar a igualdade acima usando essas informações.

Passo 2

Definição e expressão do integral de linha por parametrização.
Quando temos uma curva C parametrizada por r(t) em [a,b], o integral de linha do campo vetorial F ao longo de C é definido por
\int_{C} F\cdot d r = \int_{a}^{b} F(r(t))\cdot r'(t)\,dt.
Explicando cada símbolo:
  • r(t)=(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)) é a parametrização da curva; cada x_i(t) é uma função real de t.
  • r'(t)=(x_1'(t),x_2'(t),\dots,x_n'(t)) é a derivada componente a componente.
  • F(r(t)) é o vetor F avaliado no ponto r(t).
  • O produto escalar F(r(t))\cdot r'(t) é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
    A suavidade de C garante que r'(t) exista e seja contínua, de modo que a integral acima faça sentido.

Passo 3

Uso da hipótese “conservativo” e relação com função potencial.
Por hipótese, F é conservativo e f é sua função potencial. Isso significa que, para todo ponto x no domínio considerado,
F(x)=\nabla f(x).
Aqui \nabla f(x) é o vetor gradiente de f em x, cujas componentes são as derivadas parciais:
\nabla f(x) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x),\frac{\partial f}{\partial x_2}(x),\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x)\right).
Substituindo na expressão do integral de linha obtemos
\int_{C} F\cdot d r = \int_{a}^{b} \nabla f(r(t))\cdot r'(t)\,dt.

Passo 4

Aplicação da regra da cadeia à composição g(t)=f(r(t)).
Definimos a função escalar
g(t) := f(r(t)),
ou seja, g é a composição de f com a parametrização r. Pela regra da cadeia (em forma componente a componente), a derivada de g é
g'(t) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(r(t))\,x_i'(t).
Mas a soma à direita é exatamente o produto escalar entre \nabla f(r(t)) e r'(t). Portanto
g'(t) = \nabla f(r(t))\cdot r'(t).
Como F=\nabla f, temos também
g'(t) = F(r(t))\cdot r'(t).
Observação didática: escrever a regra da cadeia em componentes deixa claro por que o produto escalar aparece — cada derivada parcial multiplica a taxa de variação da coordenada correspondente.

Passo 5

Troca no integral e uso do Teorema Fundamental do Cálculo.
Substituindo a expressão de g'(t) na integral do Passo 2 obtemos
\int_{C} F\cdot d r = \int_{a}^{b} g'(t)\,dt.
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo (que diz que a integral da derivada nos dá a diferença de valores da função): como g é diferenciável em [a,b] e g' é contínua, vale
\int_{a}^{b} g'(t)\,dt = g(b)-g(a).
Voltando à definição de g, isso significa
\int_{a}^{b} g'(t)\,dt = f(r(b)) - f(r(a)).

Passo 6

Conclusão final — escrito claramente.
Juntando os passos anteriores chegamos à identidade desejada:
\int_{C} F\cdot d r = f(r(b)) - f(r(a)).
Interpretação prática: o integral de linha de um campo conservativo depende apenas dos pontos finais da curva, não do caminho percorrido. Isso é exatamente o que acabamos de provar através da parametrização, da regra da cadeia e do Teorema Fundamental do Cálculo.

Resposta

\int_{C} F\cdot d r=f(r(b))-f(r(a))

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