(1,0 p)- Explique porque o campo
é chamado rotacional.
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar por que o campo
é chamado de “rotacional”.
Informações dadas (implícitas no enunciado): temos um campo vetorial (função de
com componentes suaves) e o operador vetorial
aplicado a
. Não há outros dados numéricos nem figura — a pergunta é conceitual: justificar o nome a partir da definição e do comportamento do operador.
Informações dadas (implícitas no enunciado): temos um campo vetorial
Passo 2
Ideia central e definição operacional: circulação e densidade de circulação.
- Circulação de
ao longo da curva fechada é a integral de linha . Essa quantidade mede quanto o campo “empurra” ao redor do contorno. - O rotacional (curl) aparece como a “circulação por unidade de área” quando fazemos a curva
pequena. A relação precisa é esta (definição local-intuitiva do rotacional):
onde
é uma pequena superfície de área
,
seu contorno orientado e
a normal unitária da superfície.
Aqui: é a direção perpendicular à superfície
,
é a área de
, e a integral de linha mede a circulação em torno do contorno. Essa fórmula já entrega a intuição:
mede a tendência local de rotação do campo, por isso “rotacional”.
Aqui:
Passo 3
Derivação explícita (caso plano, componente
): cálculo da circulação em um pequeno retângulo e relação com as derivadas parciais.
Escolhemos um pequeno retângulo centrado na origem, no plano , com lados
(no
) e
(no
). O contorno
é percorrido no sentido anti-horário. Denotamos
. Vamos calcular a circulação aproximada pela soma das integrais nos quatro lados (apenas termos até ordem 1 nas derivadas, pois vamos dividir por área pequena e fazer limite).
Escolhemos um pequeno retângulo centrado na origem, no plano
- Lado inferior: de
a em . Aproximação:
- Lado superior: de
a em (sentido oposto), então
- Lado direito: de
a em :
- Lado esquerdo: de
a em (sentido oposto):
Somando as quatro parcelas, a circulação total
é aproximadamente
Agora usamos expansão em série de Taylor até a primeira ordem nas variáveis (apenas os termos lineares importam na diferença):
Substituindo nas diferenças:
Logo
onde todos os derivados são avaliados no ponto central (a origem). A área do retângulo é
. Portanto
Mas o lado direito é exatamente a componente
do rotacional:
Isso mostra, via cálculo direto, que a componente do rotacional na direção normal é a circulação por unidade de área naquela direção. Esse cálculo local é a razão do nome “rotacional”.
Passo 4
Expressão completa em 3D e interpretação como eixo de rotação.
A fórmula vetorial do rotacional é
A fórmula vetorial do rotacional é
Cada componente é uma diferença de derivadas parciais que aparece exatamente ao fazer a mesma conta que fizemos no plano, mas para as três direções. A interpretação geométrica/ física:
é um vetor cuja direção é o eixo instantâneo de rotação local (use a regra da mão direita para relacionar orientação do contorno e sinal) e cujo módulo é a intensidade dessa rotação medida como circulação por unidade de área.
Exemplo concreto (rigidez de rotação): seja rotação sólida em torno do eixo
com velocidade angular
. O campo de velocidade é
Calculemos a componente
do rotacional:
Aqui vemos que o rotacional aponta na direção do eixo de rotação (
) e tem magnitude
— ou seja, está diretamente relacionado à velocidade angular (o fator 2 aparece por convenção e corresponde ao fato de que o campo de velocidade de um corpo rígido em rotação tem vorticidade
). Isso reforça fortemente a ideia de que
mede rotação local.
Passo 5
Relação com o teorema de Stokes (enfatiza a interpretação global/local):
O teorema de Stokes dá a igualdade entre a circulação em torno do contorno e o fluxo do rotacional através de
:
O teorema de Stokes dá a igualdade entre a circulação em torno do contorno
Se
é muito pequena, o integrando
é quase constante sobre
, então a integral à direita é aproximadamente
, recuperando a definição local dada antes. Assim o rotacional é justamente a densidade de circulação que, integrada sobre uma superfície, dá a circulação total na borda. Isso é a razão matemática precisa para o nome “rotacional”.
Passo 6
Resumo intuitivo e dica para prova (amigo falando contigo):
- Pense no rotacional como “quanto o campo gira ao redor de um ponto”.
- Técnica prática para mostrar isso numa prova: calcular a circulação em um pequeno retângulo (ou usar Stokes) e dividir por área; aparece a combinação
(ou as análogas nas outras direções), que é a componente do rotacional. - Lembre: a direção do vetor
indica o eixo de rotação (regra da mão direita) e o módulo é a intensidade da rotação (circulação por unidade de área). Se o rotacional é zero numa região, não há rotação local (campo irrotacional) — isso também é útil em provas e exercícios.
Resposta
Porque
mede a circulação por unidade de área (a densidade de circulação) ao redor de um ponto:
, logo ele indica a tendência local de rotação do campo — direção e sentido do vetor dão o eixo e o sentido da rotação (regra da mão direita) e o módulo é a intensidade dessa rotação.