(1,0 p)- Explique porque o campo \nabla \times F é chamado rotacional.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar por que o campo \nabla\times F é chamado de “rotacional”.
Informações dadas (implícitas no enunciado): temos um campo vetorial F (função de \mathbf{r}=(x,y,z) com componentes suaves) e o operador vetorial \nabla\times aplicado a F. Não há outros dados numéricos nem figura — a pergunta é conceitual: justificar o nome a partir da definição e do comportamento do operador.

Passo 2

Ideia central e definição operacional: circulação e densidade de circulação.
  • Circulação de F ao longo da curva fechada \partial S é a integral de linha \displaystyle \oint_{\partial S} F\cdot d\mathbf{r}. Essa quantidade mede quanto o campo “empurra” ao redor do contorno.
  • O rotacional (curl) aparece como a “circulação por unidade de área” quando fazemos a curva \partial S pequena. A relação precisa é esta (definição local-intuitiva do rotacional):
(\nabla\times F)\cdot \mathbf{n} \;=\; \lim_{A\to 0}\frac{1}{A}\oint_{\partial S} F\cdot d\mathbf{r},
onde S é uma pequena superfície de área A, \partial S seu contorno orientado e \mathbf{n} a normal unitária da superfície.
Aqui: \mathbf{n} é a direção perpendicular à superfície S, A é a área de S, e a integral de linha mede a circulação em torno do contorno. Essa fórmula já entrega a intuição: \nabla\times F mede a tendência local de rotação do campo, por isso “rotacional”.

Passo 3

Derivação explícita (caso plano, componente z): cálculo da circulação em um pequeno retângulo e relação com as derivadas parciais.
Escolhemos um pequeno retângulo centrado na origem, no plano xy, com lados \,h (no x) e \,k (no y). O contorno \partial S é percorrido no sentido anti-horário. Denotamos F=(F_x,F_y,F_z). Vamos calcular a circulação aproximada pela soma das integrais nos quatro lados (apenas termos até ordem 1 nas derivadas, pois vamos dividir por área pequena e fazer limite).
  • Lado inferior: de x=-\tfrac{h}{2} a x=+\tfrac{h}{2} em y=-\tfrac{k}{2}. Aproximação:
\int_{\text{inf}} F\cdot d\mathbf{r} \approx \int_{-h/2}^{h/2} F_x(x,-\tfrac{k}{2})\,dx \approx h\,F_x(0,-\tfrac{k}{2}).
  • Lado superior: de x=+\tfrac{h}{2} a x=-\tfrac{h}{2} em y=+\tfrac{k}{2} (sentido oposto), então
\int_{\text{sup}} F\cdot d\mathbf{r} \approx -\int_{-h/2}^{h/2} F_x(x,+\tfrac{k}{2})\,dx \approx -h\,F_x(0,+\tfrac{k}{2}).
  • Lado direito: de y=-\tfrac{k}{2} a y=+\tfrac{k}{2} em x=+\tfrac{h}{2}:
\int_{\text{dir}} F\cdot d\mathbf{r} \approx \int_{-k/2}^{k/2} F_y(\tfrac{h}{2},y)\,dy \approx k\,F_y(\tfrac{h}{2},0).
  • Lado esquerdo: de y=+\tfrac{k}{2} a y=-\tfrac{k}{2} em x=-\tfrac{h}{2} (sentido oposto):
\int_{\text{esq}} F\cdot d\mathbf{r} \approx -\int_{-k/2}^{k/2} F_y(-\tfrac{h}{2},y)\,dy \approx -k\,F_y(-\tfrac{h}{2},0).
Somando as quatro parcelas, a circulação total C é aproximadamente
C \approx h\bigl(F_x(0,-\tfrac{k}{2})-F_x(0,+\tfrac{k}{2})\bigr) + k\bigl(F_y(\tfrac{h}{2},0)-F_y(-\tfrac{h}{2},0)\bigr).
Agora usamos expansão em série de Taylor até a primeira ordem nas variáveis (apenas os termos lineares importam na diferença):
F_x(0,\pm \tfrac{k}{2}) \approx F_x(0,0) \pm \tfrac{k}{2}\,\partial_y F_x(0,0),
F_y(\pm \tfrac{h}{2},0) \approx F_y(0,0) \pm \tfrac{h}{2}\,\partial_x F_y(0,0).
Substituindo nas diferenças:
F_x(0,-\tfrac{k}{2})-F_x(0,+\tfrac{k}{2}) \approx -k\,\partial_y F_x(0,0),
F_y(\tfrac{h}{2},0)-F_y(-\tfrac{h}{2},0) \approx h\,\partial_x F_y(0,0).
Logo
C \approx h\bigl(-k\,\partial_y F_x\bigr) + k\bigl(h\,\partial_x F_y\bigr) = hk\bigl(\partial_x F_y - \partial_y F_x\bigr),
onde todos os derivados são avaliados no ponto central (a origem). A área do retângulo é A=hk. Portanto
\frac{C}{A} \approx \partial_x F_y - \partial_y F_x.
Mas o lado direito é exatamente a componente z do rotacional:
(\nabla\times F)_z = \partial_x F_y - \partial_y F_x.
Isso mostra, via cálculo direto, que a componente do rotacional na direção normal é a circulação por unidade de área naquela direção. Esse cálculo local é a razão do nome “rotacional”.

Passo 4

Expressão completa em 3D e interpretação como eixo de rotação.
A fórmula vetorial do rotacional é
\nabla\times F \;=\; \bigl(\partial_y F_z - \partial_z F_y,\; \partial_z F_x - \partial_x F_z,\; \partial_x F_y - \partial_y F_x\bigr).
Cada componente é uma diferença de derivadas parciais que aparece exatamente ao fazer a mesma conta que fizemos no plano, mas para as três direções. A interpretação geométrica/ física: \nabla\times F é um vetor cuja direção é o eixo instantâneo de rotação local (use a regra da mão direita para relacionar orientação do contorno e sinal) e cujo módulo é a intensidade dessa rotação medida como circulação por unidade de área.
Exemplo concreto (rigidez de rotação): seja rotação sólida em torno do eixo z com velocidade angular \omega. O campo de velocidade é
F(x,y,z) = \omega\times \mathbf{r} = (-\omega y,\; \omega x,\; 0).
Calculemos a componente z do rotacional:
(\nabla\times F)_z = \partial_x F_y - \partial_y F_x = \partial_x(\omega x) - \partial_y(-\omega y)=\omega+\omega=2\omega.
Aqui vemos que o rotacional aponta na direção do eixo de rotação ( +z) e tem magnitude 2\omega — ou seja, está diretamente relacionado à velocidade angular (o fator 2 aparece por convenção e corresponde ao fato de que o campo de velocidade de um corpo rígido em rotação tem vorticidade 2\omega). Isso reforça fortemente a ideia de que \nabla\times F mede rotação local.

Passo 5

Relação com o teorema de Stokes (enfatiza a interpretação global/local):
O teorema de Stokes dá a igualdade entre a circulação em torno do contorno \partial S e o fluxo do rotacional através de S:
\oint_{\partial S} F\cdot d\mathbf{r} \;=\; \iint_{S} (\nabla\times F)\cdot \mathbf{n}\, dS.
Se S é muito pequena, o integrando (\nabla\times F)\cdot\mathbf{n} é quase constante sobre S, então a integral à direita é aproximadamente (\nabla\times F)\cdot\mathbf{n}\times A, recuperando a definição local dada antes. Assim o rotacional é justamente a densidade de circulação que, integrada sobre uma superfície, dá a circulação total na borda. Isso é a razão matemática precisa para o nome “rotacional”.

Passo 6

Resumo intuitivo e dica para prova (amigo falando contigo):
  • Pense no rotacional como “quanto o campo gira ao redor de um ponto”.
  • Técnica prática para mostrar isso numa prova: calcular a circulação em um pequeno retângulo (ou usar Stokes) e dividir por área; aparece a combinação \partial_x F_y-\partial_y F_x (ou as análogas nas outras direções), que é a componente do rotacional.
  • Lembre: a direção do vetor \nabla\times F indica o eixo de rotação (regra da mão direita) e o módulo é a intensidade da rotação (circulação por unidade de área). Se o rotacional é zero numa região, não há rotação local (campo irrotacional) — isso também é útil em provas e exercícios.

Resposta

Porque \nabla\times F mede a circulação por unidade de área (a densidade de circulação) ao redor de um ponto: (\nabla\times F)\cdot\mathbf{n}=\lim_{A\to0}\dfrac{1}{A}\oint_{\partial S}F\cdot d\mathbf{r}, logo ele indica a tendência local de rotação do campo — direção e sentido do vetor dão o eixo e o sentido da rotação (regra da mão direita) e o módulo é a intensidade dessa rotação.

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