(1,5 p)- Seja o campo de forças F(x, y)=\left(x^{2},-x y\right) no plano.
a) Determine o trabalho feito pelo campo para mover uma partícula ao longo de um quarto da circunferência de raio r, no primeiro quadrante, do ponto ( r, 0 ) para ( 0, r ).
b) Calcule \nabla \times F e \nabla \cdot F.
c) Este campo é conservativo? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças \displaystyle F(x,y)=\bigl(x^{2},-x y\bigr) no plano e pede três coisas:
  • (a) Determinar o trabalho realizado pelo campo ao mover uma partícula ao longo de um quarto da circunferência de raio \,r\,, no primeiro quadrante, do ponto \,(r,0) para (0,r).
  • (b) Calcular \displaystyle \nabla\times F e \displaystyle \nabla\cdot F.
  • (c) Dizer se o campo é conservativo e justificar.
Informações importantes que temos do enunciado:
  • A curva é o arco de circunferência de raio \,r no primeiro quadrante, com extremidades (r,0) e (0,r).
  • O campo é dado explicitamente por F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) com P(x,y)=x^{2} e Q(x,y)=-xy.

Passo 2

Vamos resolver (a): primeiro precisamos parametrizar o quarto de circunferência. Uma parametrização natural do círculo de raio \,r é usar o ângulo polar. Tomamos o parâmetro \,t como o ângulo medido desde o eixo x:
x(t)=r\cos t,\qquad y(t)=r\sin t,
com \,t variando de \,0 até \,\frac{\pi}{2} para percorrer o arco do ponto (r,0) até (0,r) no sentido anti-horário (primeiro quadrante). Agora calculamos as diferenciais, que serão usadas no produto escalar F\cdot \mathrm{d}r:
\mathrm{d}x = x'(t)\,\mathrm{d}t = -r\sin t\,\mathrm{d}t, \qquad \mathrm{d}y = y'(t)\,\mathrm{d}t = r\cos t\,\mathrm{d}t.
Explicação curta do porquê dessa escolha: parametrizar por \,t torna \,x e \,y funções simples de seno e cosseno, e \mathrm{d}x,\mathrm{d}y ficam fáceis de substituir na integral de linha.

Passo 3

Escrevemos o trabalho como integral de linha (no sentido usual):
W=\int_{C} F\cdot \mathrm{d}r = \int_{C} \bigl(P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y\bigr).
Substituímos P=x^{2}, Q=-xy e a parametrização. Primeiro expressamos x^{2} e xy em termos de t:
x^{2} = \bigl(r\cos t\bigr)^{2} = r^{2}\cos^{2}t, \qquad xy = \bigl(r\cos t\bigr)\bigl(r\sin t\bigr) = r^{2}\cos t\sin t.
Agora substituímos tudo em P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y:
P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = r^{2}\cos^{2}t\cdot\bigl(-r\sin t\,\mathrm{d}t\bigr) + \bigl(-r^{2}\cos t\sin t\bigr)\cdot\bigl(r\cos t\,\mathrm{d}t\bigr).

Passo 4

Simplificamos a expressão obtida no passo anterior:
r^{2}\cos^{2}t\cdot(-r\sin t) + (-r^{2}\cos t\sin t)\cdot(r\cos t) = -r^{3}\cos^{2}t\sin t - r^{3}\cos^{2}t\sin t = -2r^{3}\cos^{2}t\sin t.
Portanto a integral do trabalho fica
W=\int_{t=0}^{\pi/2} -2r^{3}\cos^{2}t\sin t\,\mathrm{d}t.
Agora fazemos uma substituição simples para integrar: ponha \,u=\cos t. Então \,\mathrm{d}u=-\sin t\,\mathrm{d}t, ou seja \sin t\,\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u. Quando t=0 temos u=1; quando t=\pi/2 temos u=0. Substituindo:
W=\int_{t=0}^{\pi/2} -2r^{3}\cos^{2}t\sin t\,\mathrm{d}t = -2r^{3}\int_{1}^{0} u^{2}(-\mathrm{d}u) = -2r^{3}\int_{1}^{0} (-u^{2})\,\mathrm{d}u.
Para ficar limpinho, é mais direto reorganizar: usando \sin t\,\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u,
W = -2r^{3}\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}t\sin t\,\mathrm{d}t = -2r^{3}\int_{u=1}^{u=0} u^{2}(-\mathrm{d}u) = -2r^{3}\int_{1}^{0} (-u^{2})\,\mathrm{d}u = -2r^{3}\int_{1}^{0} (-u^{2})\,\mathrm{d}u.
Simplificando os sinais e integrando:
W = 2r^{3}\int_{1}^{0} u^{2}\,\mathrm{d}u = 2r^{3}\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{1}^{0} = 2r^{3}\left(0-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2r^{3}}{3}.
Comentário físico curto: o resultado negativo indica que, ao deslocar a partícula nesse arco no sentido dado, a força faz trabalho negativo (ela resiste ao movimento naquela direção).

Passo 5

Agora vamos à parte (b). Primeiro lembro as definições e fórmulas em duas dimensões:
  • Para um campo F=(P,Q) definido no plano, a divergência é
\displaystyle \nabla\cdot F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}.
  • O “rotacional” em 2D que costuma usar-se é o escalar dado por
\displaystyle \nabla\times F = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}.
(Obs.: em 3D o rotacional é um vetor; em 2D a componente normal ao plano é essa diferença de derivadas parciais.)

Passo 6

Calculamos as derivadas parciais necessárias para P=x^{2} e Q=-xy:
\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) = 2x, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}) = 0,
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-xy) = -y, \qquad \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-xy) = -x.
Agora aplicamos as fórmulas:
\displaystyle \nabla\cdot F = 2x + (-x) = x,
\displaystyle \nabla\times F = (-y) - 0 = -y.

Passo 7

Parte (c): decidir se o campo é conservativo. Vou usar o critério clássico: se o campo F=(P,Q) for definido em uma região simplesmente conexa do plano (por exemplo \mathbb{R}^{2}) e for de classe C^{1}, então F é conservativo se, e somente se,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}
em toda a região. Aqui já calculamos \frac{\partial P}{\partial y}=0 e \frac{\partial Q}{\partial x}=-y. Como 0\neq -y na maior parte do plano (exceto na reta y=0), a igualdade não vale globalmente. Portanto o campo não é conservativo em \mathbb{R}^{2}.
Para dar uma prova concreta da não-conservatividade — isto é, mostrar que a integral de linha depende do caminho — comparamos o trabalho que encontramos no arco (parte (a)) com o trabalho ao seguir um caminho diferente entre os mesmos pontos. Por exemplo, tomar o caminho em duas retas: de (r,0) a (0,0) ao longo do eixo x e depois de (0,0) a (0,r) ao longo do eixo y.
  • No trecho ao longo do eixo x temos y=0, então Q=0 e o integrando é P\,\mathrm{d}x = x^{2}\,\mathrm{d}x. Integrando de x=r até x=0
\int_{r}^{0} x^{2}\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{r}^{0} = -\frac{r^{3}}{3}.
  • No trecho ao longo do eixo y temos x=0, então P=0 e Q=0, portanto a contribuição é zero.
    Somando os trechos obtemos trabalho total -\dfrac{r^{3}}{3}, que é diferente do valor pelo arco, -\dfrac{2r^{3}}{3}. Ou seja, o trabalho depende do caminho entre os mesmos pontos — característica de um campo não conservativo. Isso reforça a conclusão baseada nas derivadas parciais.

Resposta

a) -\dfrac{2r^{3}}{3}
b) \displaystyle \nabla\times F = -y
\displaystyle \nabla\cdot F = x
c) Não. Porque \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=0 e \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=-y, logo \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x} em geral; alternativamente, o trabalho entre os mesmos pontos depende do caminho (ex.: arco dá -\tfrac{2r^{3}}{3}, caminho em eixos dá -\tfrac{r^{3}}{3}).

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