(1,5 p)- Seja o campo de forças
no plano.
a) Determine o trabalho feito pelo campo para mover uma partícula ao longo de um quarto da circunferência de raio
, no primeiro quadrante, do ponto (
) para (
).
b) Calcule
e
.
c) Este campo é conservativo? Justifique.
a) Determine o trabalho feito pelo campo para mover uma partícula ao longo de um quarto da circunferência de raio
b) Calcule
c) Este campo é conservativo? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá o campo de forças
no plano e pede três coisas:
- (a) Determinar o trabalho realizado pelo campo ao mover uma partícula ao longo de um quarto da circunferência de raio
, no primeiro quadrante, do ponto para . - (b) Calcular
e . - (c) Dizer se o campo é conservativo e justificar.
Informações importantes que temos do enunciado:
- A curva é o arco de circunferência de raio
no primeiro quadrante, com extremidades e . - O campo é dado explicitamente por
com e .
Passo 2
Vamos resolver (a): primeiro precisamos parametrizar o quarto de circunferência. Uma parametrização natural do círculo de raio
é usar o ângulo polar. Tomamos o parâmetro
como o ângulo medido desde o eixo
:
com
variando de
até
para percorrer o arco do ponto
até
no sentido anti-horário (primeiro quadrante). Agora calculamos as diferenciais, que serão usadas no produto escalar
:
Explicação curta do porquê dessa escolha: parametrizar por
torna
e
funções simples de seno e cosseno, e
ficam fáceis de substituir na integral de linha.
Passo 3
Escrevemos o trabalho como integral de linha (no sentido usual):
Substituímos
,
e a parametrização. Primeiro expressamos
e
em termos de
:
Agora substituímos tudo em
:
Passo 4
Simplificamos a expressão obtida no passo anterior:
Portanto a integral do trabalho fica
Agora fazemos uma substituição simples para integrar: ponha
. Então
, ou seja
. Quando
temos
; quando
temos
. Substituindo:
Para ficar limpinho, é mais direto reorganizar: usando
,
Simplificando os sinais e integrando:
Comentário físico curto: o resultado negativo indica que, ao deslocar a partícula nesse arco no sentido dado, a força faz trabalho negativo (ela resiste ao movimento naquela direção).
Passo 5
Agora vamos à parte (b). Primeiro lembro as definições e fórmulas em duas dimensões:
- Para um campo
definido no plano, a divergência é
- O “rotacional” em 2D que costuma usar-se é o escalar dado por
(Obs.: em 3D o rotacional é um vetor; em 2D a componente normal ao plano é essa diferença de derivadas parciais.)
Passo 6
Calculamos as derivadas parciais necessárias para
e
:
Agora aplicamos as fórmulas:
Passo 7
Parte (c): decidir se o campo é conservativo. Vou usar o critério clássico: se o campo
for definido em uma região simplesmente conexa do plano (por exemplo
) e for de classe
, então
é conservativo se, e somente se,
em toda a região. Aqui já calculamos
e
. Como
na maior parte do plano (exceto na reta
), a igualdade não vale globalmente. Portanto o campo não é conservativo em
.
Para dar uma prova concreta da não-conservatividade — isto é, mostrar que a integral de linha depende do caminho — comparamos o trabalho que encontramos no arco (parte (a)) com o trabalho ao seguir um caminho diferente entre os mesmos pontos. Por exemplo, tomar o caminho em duas retas: de
a
ao longo do eixo
e depois de
a
ao longo do eixo
.
- No trecho ao longo do eixo
temos , então e o integrando é . Integrando de até dá
- No trecho ao longo do eixo
temos , então e , portanto a contribuição é zero.
Somando os trechos obtemos trabalho total, que é diferente do valor pelo arco, . Ou seja, o trabalho depende do caminho entre os mesmos pontos — característica de um campo não conservativo. Isso reforça a conclusão baseada nas derivadas parciais.
Resposta
a)
b)
c) Não. Porque
e
, logo
em geral; alternativamente, o trabalho entre os mesmos pontos depende do caminho (ex.: arco dá
, caminho em eixos dá
).