( \mathbf{2 , 0 ~ p t} ) Uma pedra é deixada cair em um duto vertical onde o ar no interior tem uma massa específica de 1,32 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e um módulo de elasticidade volumétrico de 1,29 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}. O som produzido pela pedra ao se chocar com o fundo do duto é ouvido 4,0 \mathrm{~s} depois. Qual é a profundidade do duto? Se necessário use x=-b \pm \sqrt{ }\left(b^{2}-4 a c / 2 a\right).

Passo 1

O enunciado diz que uma pedra cai em um duto vertical de profundidade L, onde o ar tem massa específica \rho = 1,32\\ \mathrm{kg/m^3} e módulo volumétrico K = 1,29\times10^5\\ \mathrm{Pa}. O som do choque é ouvido 4,0\\ \mathrm{s} depois. Vamos usar a cinemática da queda livre e a expressão da velocidade do som num meio elástico.

Passo 2

A velocidade do som no ar é
v = \sqrt{\frac{K}{\rho}} = \sqrt{\frac{1,29\times10^5}{1,32}} \approx 312,7\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

O tempo total é a soma do tempo de queda
t_{\text{queda}} = \sqrt{\frac{2L}{g}}
e do tempo de ida do som
t_{\text{som}} = \frac{L}{v}.
Como g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2} e v \approx 312,7\\ \mathrm{m/s}, temos
\sqrt{\frac{2L}{9,8}} + \frac{L}{312,7} = 4,0.

Passo 4

Para resolver essa equação não-linear, definimos x = \sqrt{L}, de modo que L = x^2 e
\sqrt{\frac{2L}{9,8}} = \sqrt{\frac{2}{9,8}}\;x.
Chamando
a = \sqrt{\frac{2}{9,8}},\qquad b = \frac{1}{312,7},
a equação fica
b\,x^2 + a\,x - 4 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara e escolhendo a raiz positiva,
x = \frac{-a + \sqrt{a^2 + 16\,b}}{2\,b}.

Passo 5

Numericamente a \approx 0,452 e b \approx 0,00320. O discriminante é
a^2 + 16\,b \approx 0,452^2 + 16\cdot0,00320 \approx 0,255,
então
x \approx \frac{-0,452 + \sqrt{0,255}}{2\cdot0,00320} \approx 8,36,
e
L = x^2 \approx (8,36)^2 \approx 69,9\\ \mathrm{m}.

Resposta

A profundidade do duto é aproximadamente 70\\ \mathrm{m}.

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