( \mathbf{0}, \mathbf{5} ponto) Para cada função a seguir, calcule os valores indicados:
(b) g(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}} ; \quad g(3), g\left(x^{2}-1\right)

Passo 1

O enunciado dá a função g e pede dois valores específicos. Informação do enunciado:
  • A função é g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}.
  • Os valores a calcular são g(3) e g\big(x^{2}-1\big).
O que precisamos entregar: o valor numérico de g(3) e a expressão simplificada (com domínio) de g\big(x^{2}-1\big).

Passo 2

Antes de calcular qualquer coisa, é importante entender onde a função g está definida (domínio). Para isso, lembrar duas coisas sobre raiz quadrada e divisão:
  • A raiz quadrada \sqrt{\,\cdot\,} só é definida para argumentos não negativos.
  • Não se pode dividir por zero.
Aplicando isso em g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}:
  • O argumento da raiz é x+1. Então é necessário x+1\ge 0, ou seja x\ge -1.
  • Além disso, a raiz \sqrt{x+1} não pode ser zero, porque aparece no denominador. \sqrt{x+1}=0 ocorre quando x+1=0, isto é x=-1. Logo x=-1 é proibido.
    Combinação desses dois requisitos dá o domínio:
\text{dom}(g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>-1\}.

Passo 3

Calcular g(3) por substituição simples: trocar x por 3 na definição de g e simplificar passo a passo.
g(3)=\frac{3}{\sqrt{3+1}}.
Calcular o que está dentro da raiz:
3+1=4,
então
g(3)=\frac{3}{\sqrt{4}}.
E \sqrt{4}=2, portanto
g(3)=\frac{3}{2}.
Verificação de domínio: 3>-1, então g(3) está bem definido.

Passo 4

Agora g\big(x^{2}-1\big). Aqui a ideia é a mesma: substituir a expressão x^{2}-1 no lugar de x na fórmula de g. Fazer a substituição com calma:
g\big(x^{2}-1\big)=\frac{x^{2}-1}{\sqrt{(x^{2}-1)+1}}.
Simplificar o que está dentro da raiz:
(x^{2}-1)+1 = x^{2},
logo
g\big(x^{2}-1\big)=\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}}}.

Passo 5

Explicar a simplificação final: \sqrt{x^{2}}=|x|. Isso é um fato importante e frequentemente usado: a raiz quadrada da variável ao quadrado retorna o valor absoluto da variável, porque a raiz sempre dá resultado não negativo. Portanto
g\big(x^{2}-1\big)=\frac{x^{2}-1}{|x|}.
Agora considerar o domínio dessa expressão. Como visto no Passo 2, é necessário que a entrada de g (aqui x^{2}-1) satisfaça x^{2}-1>-1. Resolver:
x^{2}-1>-1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}>0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq 0.
Além disso, a forma \dfrac{x^{2}-1}{|x|} também exige |x|\neq 0, ou seja x\neq 0. Portanto o domínio da função composta é todos os reais exceto 0.
Para deixar a expressão sem valor absoluto (útil em provas), pode-se escrever a forma equivalente por partes:
  • Se x>0, então |x|=x e
g\big(x^{2}-1\big)=\frac{x^{2}-1}{x}=x-\frac{1}{x}.
  • Se x<0, então |x|=-x e
g\big(x^{2}-1\big)=\frac{x^{2}-1}{-x}=-x+\frac{1}{x}.
Ambas as formas são equivalentes à forma com |x| e valem para x\neq 0.

Resposta

g(3)=\dfrac{3}{2}
g\big(x^{2}-1\big)=\dfrac{x^{2}-1}{|x|},\; x\ne 0

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