(
ponto) Para cada função a seguir, calcule os valores indicados:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede dois valores específicos. Informação do enunciado:
- A função é
. - Os valores a calcular são
e .
O que precisamos entregar: o valor numérico de
e a expressão simplificada (com domínio) de
.
Passo 2
Antes de calcular qualquer coisa, é importante entender onde a função
está definida (domínio). Para isso, lembrar duas coisas sobre raiz quadrada e divisão:
- A raiz quadrada
só é definida para argumentos não negativos. - Não se pode dividir por zero.
Aplicando isso em
:
- O argumento da raiz é
. Então é necessário , ou seja . - Além disso, a raiz
não pode ser zero, porque aparece no denominador. ocorre quando , isto é . Logo é proibido.
Combinação desses dois requisitos dá o domínio:
Passo 3
Calcular
por substituição simples: trocar
por
na definição de
e simplificar passo a passo.
Calcular o que está dentro da raiz:
então
E
, portanto
Verificação de domínio:
, então
está bem definido.
Passo 4
Agora
. Aqui a ideia é a mesma: substituir a expressão
no lugar de
na fórmula de
. Fazer a substituição com calma:
Simplificar o que está dentro da raiz:
logo
Passo 5
Explicar a simplificação final:
. Isso é um fato importante e frequentemente usado: a raiz quadrada da variável ao quadrado retorna o valor absoluto da variável, porque a raiz sempre dá resultado não negativo. Portanto
Agora considerar o domínio dessa expressão. Como visto no Passo 2, é necessário que a entrada de
(aqui
) satisfaça
. Resolver:
Além disso, a forma
também exige
, ou seja
. Portanto o domínio da função composta é todos os reais exceto
.
Para deixar a expressão sem valor absoluto (útil em provas), pode-se escrever a forma equivalente por partes:
- Se
, então e
- Se
, então e
Ambas as formas são equivalentes à forma com
e valem para
.