( 0,5 ponto) Para cada função definida pelas expressões a seguir, determine seu domínio:
(b) f(x)=\frac{x}{x^{2}+2 x-2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função racional f definida por
f(x)=\frac{x}{x^{2}+2x-2}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é uma fração onde o numerador é x e o denominador é x^{2}+2x-2.
  • O domínio que queremos é o conjunto de todos os x reais para os quais a expressão que define f(x) faz sentido.

Passo 2

Entendendo o que impede um número de estar no domínio: para uma função dada por uma fração, qualquer valor de x que torne o denominador igual a zero deve ser excluído do domínio, porque divisão por zero não é definida. Portanto, precisamos encontrar os valores de x que anulam o denominador
x^{2}+2x-2.

Passo 3

Como encontrar esses valores: resolver a equação quadrática
x^{2}+2x-2=0.
Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Recordando a fórmula: para uma equação ax^{2}+bx+c=0, as raízes são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes da equação. Aqui temos a=1, b=2 e c=-2.

Passo 4

Calcular o discriminante \Delta:
\Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4\cdot1\cdot(-2) = 4 + 8 = 12.
Explicação: \Delta indica se a equação tem raízes reais ( \Delta\ge 0) e também entra na fórmula da raiz via \sqrt{\Delta}. Como \Delta=12>0, teremos duas raízes reais distintas.

Passo 5

Aplicar a fórmula para obter as raízes:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}.
Simplificando \sqrt{12}: \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}. Assim
x=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}.
Portanto os valores que anulam o denominador são x=-1-\sqrt{3} e x=-1+\sqrt{3}.

Passo 6

Conclusão sobre o domínio: excluir esses dois valores do conjunto dos números reais. Em outras palavras, o domínio de f é o conjunto de todos os reais, exceto -1-\sqrt{3} e -1+\sqrt{3}.

Resposta

\displaystyle \mathbb{R}\setminus\{\,-1-\sqrt{3},\;-1+\sqrt{3}\,\}

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