( \mathbf{0}, \mathbf{5} ponto) Para cada função a seguir, calcule os valores indicados:
(a) f(x)=-3 x^{2}+x ; \quad f(1), f(x+h), f(\sqrt{x}), f(1 / x).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=-3x^{2}+x e pede para calcular quatro valores:
  • f(1)
  • f(x+h)
  • f(\sqrt{x})
  • f(1/x)
Também é útil anotar desde já que estas são apenas aplicações da definição de função: para calcular f(\text{algo}) substitui-se x por esse “algo” na expressão de f. Nada ainda foi calculado — só listei o que o problema pede e a fórmula dada.

Passo 2

Relembrando a ideia de substituição (bem básica, porém vital na prova):
  • A função f é uma regra que associa a cada valor de x o número f(x)=-3x^{2}+x.
  • Para obter f(a), basta trocar todo x por a na expressão de f e simplificar.
    Vou aplicar isso passo a passo para cada caso pedido. Onde aparecer operação que exige cuidado com domínio (por exemplo raiz ou divisão por x), eu aviso.

Passo 3

Calcular f(1) por substituição direta:
f(1)=-3\cdot(1)^{2}+(1)=-3\cdot1+1=-3+1=-2.
Explicação curta: substituiu-se x=1 e simplificou-se as potências e as operações.

Passo 4

Calcular f(x+h). Substitui-se x por x+h na expressão:
f(x+h)=-3\bigl(x+h\bigr)^{2}+\bigl(x+h\bigr).
Agora expandir \bigl(x+h\bigr)^{2}. Lembre que \bigl(x+h\bigr)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}. Então
f(x+h)=-3\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)+(x+h).
Distribuindo o -3:
f(x+h)=-3x^{2}-6xh-3h^{2}+x+h.
Agrupando termos semelhantes (ordem usual por potências de x e depois termos em h):
f(x+h)=-3x^{2}-6xh-3h^{2}+x+h.
Observação sobre domínio: como f é um polinômio, f(x+h) está definido para todo x e todo h reais.

Passo 5

Calcular f(\sqrt{x}). Substitui-se x por \sqrt{x}:
f(\sqrt{x})=-3\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}+\sqrt{x}.
Aqui usar a propriedade \bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}=x, que vale quando a raiz quadrada é o número principal (ou seja, para x\ge 0). Assim
f(\sqrt{x})=-3x+\sqrt{x}.
Importante: essa simplificação só faz sentido quando \sqrt{x} está definida como número real, ou seja, para x\ge 0. Então f(\sqrt{x}) está definida para x\ge 0.

Passo 6

Calcular f(1/x). Substituir x por 1/x:
f\bigl(1/x\bigr)=-3\bigl(1/x\bigr)^{2}+\bigl(1/x\bigr).
Calcular \bigl(1/x\bigr)^{2}=1/x^{2}. Logo
f\bigl(1/x\bigr)=-3\cdot\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}=-\frac{3}{x^{2}}+\frac{1}{x}.
Podemos colocar em denominador comum x^{2} para simplificar a escrita:
-\frac{3}{x^{2}}+\frac{1}{x}=-\frac{3}{x^{2}}+\frac{x}{x^{2}}=\frac{-3+x}{x^{2}}=\frac{x-3}{x^{2}}.
Observação sobre domínio: \frac{1}{x} exige x\neq 0. Portanto f(1/x) está definida para x\neq 0.

Passo 7

Recapitulando os resultados (já obtidos e justificados) e observações úteis para a prova:
  • Para calcular f(a) sempre substitua x por a e simplifique passo a passo.
  • Ao substituir expressões que envolvem raiz quadrada ou divisão, verifique o domínio (por exemplo, \sqrt{x} exige x\ge0; 1/x exige x\neq0).
  • No caso de f(x+h), expandir (x+h)^{2} e distribuir coeficientes é o procedimento padrão.

Resposta

f(1)=-2
f(x+h)=-3x^{2}-6xh-3h^{2}+x+h
f(\sqrt{x})=-3x+\sqrt{x}\quad(\text{válido para }x\ge 0)á
f(1/x)=\dfrac{x-3}{x^{2}}\quad(\text{válido para }x\neq 0)á

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