(
ponto) Calcule o limite das sequências, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede para calcular os limites, quando
, das duas sequências
e
Ou seja, preciso determinar
e
. As informações dadas são exatamente as fórmulas das sequências acima.
Passo 2
Começo estudando
. Uma ideia-chave para sequências do tipo
é usar que a função exponencial é contínua: se
então
. Portanto preciso primeiro achar
.
Vou mostrar que
usando a definição (prova
-
, bem direta). Seja
. Basta escolher
tal que
. Para todo
vale
Isso mostra que
quando
.
Passo 3
Agora aplico a continuidade da exponencial. Como
e a função
é contínua em todo
, segue que
Intuição rápida:
vai para zero, então
se aproxima de
.
Passo 4
Agora trato
. Reescrevo de forma mais clara:
Defino
. Observação importante:
.
Vou mostrar que
quando
. Argumento simples e clássico: para
tem-se
, logo a sequência
é positiva e monótona decrescente. Por ser limitada inferiormente por
, ela converge; seja
. Tomando limite na igualdade
obtemos
Como
, segue
e portanto
. Assim
.
Aplicando isso a
, obtemos
Intuição:
é uma progressão geométrica com razão menor que 1 em módulo, então vai a zero; multiplicar por
só muda a escala.
Passo 5
Resumo didático curto para a prova: para
use que
e a exponencial é contínua, logo
. Para
fatorize para obter
; como
então
, logo
. Força aí — é um tipo de limite que cai fácil na prova se lembrar dessas duas ideias.