( \mathbf{1 , 0} ponto) Calcule o limite das sequências, caso existam:
a_{n}=e^{1 / n} \quad \text { e } \quad b_{n}=\frac{3^{n+2}}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites, quando n\to\infty, das duas sequências
a_{n}=e^{1/n}
e
b_{n}=\frac{3^{n+2}}{5^{n}}.
Ou seja, preciso determinar \lim_{n\to\infty} a_{n} e \lim_{n\to\infty} b_{n}. As informações dadas são exatamente as fórmulas das sequências acima.

Passo 2

Começo estudando a_{n}=e^{1/n}. Uma ideia-chave para sequências do tipo e^{x_n} é usar que a função exponencial é contínua: se x_n\to x então e^{x_n}\to e^{x}. Portanto preciso primeiro achar \lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}.
Vou mostrar que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 usando a definição (prova \varepsilon- N, bem direta). Seja \varepsilon>0. Basta escolher N tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon}. Para todo n\ge N vale
0\le \frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Isso mostra que \frac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty.

Passo 3

Agora aplico a continuidade da exponencial. Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 e a função x\mapsto e^{x} é contínua em todo \mathbb{R}, segue que
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty} e^{1/n}=e^{\lim_{n\to\infty}1/n}=e^{0}=1.
Intuição rápida: 1/n vai para zero, então e^{1/n} se aproxima de e^{0}=1.

Passo 4

Agora trato b_{n}=\dfrac{3^{n+2}}{5^{n}}. Reescrevo de forma mais clara:
b_{n}=\frac{3^{n+2}}{5^{n}}=3^{2}\cdot\frac{3^{n}}{5^{n}}=9\left(\frac{3}{5}\right)^{n}.
Defino r=\dfrac{3}{5}. Observação importante: 0<r<1.
Vou mostrar que r^{n}\to 0 quando n\to\infty. Argumento simples e clássico: para 0<r<1 tem-se r^{n+1}=r\cdot r^{n}<r^{n}, logo a sequência (r^{n}) é positiva e monótona decrescente. Por ser limitada inferiormente por 0, ela converge; seja L=\lim_{n\to\infty}r^{n}. Tomando limite na igualdade r^{n+1}=r\cdot r^{n} obtemos
L = r\cdot L.
Como r\ne 1, segue (1-r)L=0 e portanto L=0. Assim r^{n}\to 0.
Aplicando isso a b_{n}, obtemos
\lim_{n\to\infty} b_{n}= \lim_{n\to\infty} 9\left(\frac{3}{5}\right)^{n}=9\cdot 0=0.
Intuição: (3/5)^n é uma progressão geométrica com razão menor que 1 em módulo, então vai a zero; multiplicar por 9 só muda a escala.

Passo 5

Resumo didático curto para a prova: para a_n use que 1/n\to 0 e a exponencial é contínua, logo e^{1/n}\to e^0=1. Para b_n fatorize para obter 9(3/5)^n; como 0<3/5<1 então (3/5)^n\to 0, logo b_n\to 0. Força aí — é um tipo de limite que cai fácil na prova se lembrar dessas duas ideias.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=1
\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_{n}=0

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