Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por: \[f(x)= \begin{cases}x^{2}+k, & \text { se } x \leq 2 \\\ m x-2, & \text { se } x>2\end{cases}
Determine os valores das constantes reais m\] e \(k para que a função f(x) seja diferenciável no ponto x=2.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}+k, & \text{se } x \leq 2,\\[4pt] m x-2, & \text{se } x>2,\end{cases}
com m e k constantes reais desconhecidas. A pergunta é: determinar os valores de m e k para que f seja diferenciável no ponto x=2.
Informações relevantes dadas:
  • Para x\le 2 a expressão é x^{2}+k.
  • Para x>2 a expressão é m x-2.
  • Deve-se impor diferenciabilidade em x=2 (isto é o que o enunciado quer).]

Passo 2

O que significa "ser diferenciável em x=2"? Vou explicar devagar e com jeitinho.
  • Primeiro passo necessário: f precisa ser contínua em x=2. Em símbolos, isso significa
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^+} f(x)=f(2).
Ou seja, o valor vindo da esquerda, o valor vindo da direita e o valor da função no ponto têm que coincidir.
  • Segundo passo: as derivadas laterais em x=2 têm que existir e ser iguais. Em termos de limite de quocientes:
f'_-(2)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}, \qquad f'_+(2)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(2+h)-f(2)}{h},
e para diferenciabilidade é necessário e suficiente que f'_-(2)=f'_+(2).
Intuitivamente: para a função não ter “canto” nem salto em x=2, tem que ser contínua lá e as tangentes pela esquerda e pela direita têm que ter a mesma inclinação.

Passo 3

Impondo continuidade em x=2.
Calcular f(2) usando a fórmula válida em x\le 2:
f(2)=2^{2}+k=4+k.
Calcular o limite pela direita (peguei a expressão m x-2 da definição para x>2):
\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^+}(mx-2)=2m-2.
A condição de continuidade dá a equação
4+k=2m-2.

Passo 4

Impondo igualdade das derivadas laterais.
Derivada da rama esquerda ( x^{2}+k): a derivada é 2x (porque a derivada de x^{2} é 2x e a de constante k é 0). Então a derivada lateral à esquerda em 2 é
f'_-(2)=2\cdot 2=4.
Derivada da rama direita ( mx-2): é uma reta com coeficiente angular m, logo a derivada é m para todo x. Assim a derivada lateral à direita em 2 é
f'_+(2)=m.
Para diferenciabilidade exigimos
f'_-(2)=f'_+(2)\quad\Rightarrow\quad 4=m.

Passo 5

Usar m=4 na equação de continuidade obtida no Passo 3.
A equação era 4+k=2m-2. Substituindo m=4:
4+k=2\cdot 4-2=8-2=6.
Logo
k=6-4=2.

Passo 6

Verificação rápida (para nos deixar mais tranquilos):
  • Com m=4 e k=2, o valor à esquerda em 2 é f(2)=4+k=6.
  • O valor pela direita 2m-2 com m=4 é 8-2=6. Continuidade OK.
  • As derivadas: esquerda 4, direita m=4. Derivadas iguais. Tudo OK — a função é diferenciável em x=2.

Resposta

m=4
k=2

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