Considere a função
Determine os valores das constantes reais
para que a função
seja diferenciável no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
com
e
constantes reais desconhecidas. A pergunta é: determinar os valores de
e
para que
seja diferenciável no ponto
.
Informações relevantes dadas:
- Para
a expressão é . - Para
a expressão é . - Deve-se impor diferenciabilidade em
(isto é o que o enunciado quer).]
Passo 2
O que significa "ser diferenciável em
"? Vou explicar devagar e com jeitinho.
- Primeiro passo necessário:
precisa ser contínua em . Em símbolos, isso significa
Ou seja, o valor vindo da esquerda, o valor vindo da direita e o valor da função no ponto têm que coincidir.
- Segundo passo: as derivadas laterais em
têm que existir e ser iguais. Em termos de limite de quocientes:
e para diferenciabilidade é necessário e suficiente que
.
Intuitivamente: para a função não ter “canto” nem salto em
, tem que ser contínua lá e as tangentes pela esquerda e pela direita têm que ter a mesma inclinação.
Passo 3
Impondo continuidade em
.
Calcular
usando a fórmula válida em
:
Calcular o limite pela direita (peguei a expressão
da definição para
):
A condição de continuidade dá a equação
Passo 4
Impondo igualdade das derivadas laterais.
Derivada da rama esquerda (
): a derivada é
(porque a derivada de
é
e a de constante
é
). Então a derivada lateral à esquerda em
é
Derivada da rama direita (
): é uma reta com coeficiente angular
, logo a derivada é
para todo
. Assim a derivada lateral à direita em
é
Para diferenciabilidade exigimos
Passo 5
Usar
na equação de continuidade obtida no Passo 3.
A equação era
. Substituindo
:
Logo
Passo 6
Verificação rápida (para nos deixar mais tranquilos):
- Com
e , o valor à esquerda em é . - O valor pela direita
com é . Continuidade OK. - As derivadas: esquerda
, direita . Derivadas iguais. Tudo OK — a função é diferenciável em .