Determine a derivada da função
, para
, utilizando estritamente a definição de derivada por limite:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
com domínio
, e pede a derivada de
obtida estritamente pela definição de derivada por limite. Ou seja, calcular
Informações relevantes:
- A função envolve uma raiz quadrada
de uma expressão linear . - O domínio
garante que está bem definida e é positiva (ou nula no limite do domínio). - Vamos usar a definição de derivada por limite e manipular a expressão do quociente incremental até conseguir avaliar o limite.
Passo 2
Lembrete da definição que vamos aplicar (aqui explico cada símbolo):
-
é o número que queremos encontrar: a derivada de em . -
é um incremento pequeno no argumento; fazemos para medir a variação instantânea. - O quociente
é a taxa média de variação e o limite quando é a taxa instantânea (derivada).
Neste problema aplicamos essa definição diretamente àdada.
Passo 3
Escrevendo o quociente incremental para nossa
:
Aqui substituímos
. A expressão com raízes no numerador dificulta a avaliação direta do limite
, por isso vamos manipular algebricamente.
Passo 4
Técnica útil: multiplicar numerador e denominador pela conjugada do numerador para eliminar as raízes. A conjugada de
é
. Multiplicando por essa conjugada:
O numerador agora é uma diferença de quadrados de raízes; isso simplifica bem.
Passo 5
Calcule o numerador simplificado:
Substituindo de volta:
onde simplificamos
(válido para
; no limite consideramos
tendendo a
, portanto essa manipulação é permitida).
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
:
Como a função raiz quadrada é contínua em seu domínio, quando
temos
. Portanto o denominador tende a
. Assim
Passo 7
Verificação rápida das condições: o domínio original
garante
, então o denominador
não é zero, e a expressão para
está bem definida para todo
. A técnica de racionalizar funcionou exatamente para permitir o cancelamento do
e a avaliação do limite.