Determine a derivada da função f(x)=\sqrt{3 x+1}, para x>-1 / 3, utilizando estritamente a definição de derivada por limite:

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\sqrt{3x+1},
com domínio x>-1/3, e pede a derivada de f obtida estritamente pela definição de derivada por limite. Ou seja, calcular
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Informações relevantes:
  • A função envolve uma raiz quadrada \sqrt{\cdot} de uma expressão linear 3x+1.
  • O domínio x>-1/3 garante que \sqrt{3x+1} está bem definida e é positiva (ou nula no limite do domínio).
  • Vamos usar a definição de derivada por limite e manipular a expressão do quociente incremental até conseguir avaliar o limite.

Passo 2

Lembrete da definição que vamos aplicar (aqui explico cada símbolo):
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • f'(x) é o número que queremos encontrar: a derivada de f em x.
  • h é um incremento pequeno no argumento; fazemos h\to 0 para medir a variação instantânea.
  • O quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a taxa média de variação e o limite quando h\to 0 é a taxa instantânea (derivada).
    Neste problema aplicamos essa definição diretamente à f dada.

Passo 3

Escrevendo o quociente incremental para nossa f:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{\sqrt{3(x+h)+1}-\sqrt{3x+1}}{h} = \frac{\sqrt{3x+3h+1}-\sqrt{3x+1}}{h}.
Aqui substituímos f(x+h)=\sqrt{3(x+h)+1}=\sqrt{3x+3h+1}. A expressão com raízes no numerador dificulta a avaliação direta do limite h\to0, por isso vamos manipular algebricamente.

Passo 4

Técnica útil: multiplicar numerador e denominador pela conjugada do numerador para eliminar as raízes. A conjugada de \sqrt{3x+3h+1}-\sqrt{3x+1} é \sqrt{3x+3h+1}+\sqrt{3x+1}. Multiplicando por essa conjugada:
\frac{\sqrt{3x+3h+1}-\sqrt{3x+1}}{h} \cdot \frac{\sqrt{3x+3h+1}+\sqrt{3x+1}}{\sqrt{3x+3h+1}+\sqrt{3x+1}} = \frac{(\sqrt{3x+3h+1})^2-(\sqrt{3x+1})^2}{h\bigl(\sqrt{3x+3h+1}+\sqrt{3x+1}\bigr)}.
O numerador agora é uma diferença de quadrados de raízes; isso simplifica bem.

Passo 5

Calcule o numerador simplificado:
(\sqrt{3x+3h+1})^2-(\sqrt{3x+1})^2 = (3x+3h+1)-(3x+1)=3h.
Substituindo de volta:
\frac{\sqrt{3x+3h+1}-\sqrt{3x+1}}{h} = \frac{3h}{h\bigl(\sqrt{3x+3h+1}+\sqrt{3x+1}\bigr)} = \frac{3}{\sqrt{3x+3h+1}+\sqrt{3x+1}},
onde simplificamos h (válido para h\neq0; no limite consideramos h tendendo a 0, portanto essa manipulação é permitida).

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{3}{\sqrt{3x+3h+1}+\sqrt{3x+1}}.
Como a função raiz quadrada é contínua em seu domínio, quando h\to0 temos \sqrt{3x+3h+1}\to\sqrt{3x+1}. Portanto o denominador tende a 2\sqrt{3x+1}. Assim
f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}.

Passo 7

Verificação rápida das condições: o domínio original x>-1/3 garante \sqrt{3x+1}>0, então o denominador 2\sqrt{3x+1} não é zero, e a expressão para f'(x) está bem definida para todo x>-1/3. A técnica de racionalizar funcionou exatamente para permitir o cancelamento do h e a avaliação do limite.

Resposta

f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

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