O enunciado pede uma definição: “Defina sequência convergente.”
Informações dadas: nenhuma sequência específica — a tarefa é apresentar o conceito (intuitivo e formal) de convergência de uma sequência numérica.
Passo 2
Intuição primeiro (do jeitinho que eu explicaria numa prova antes da definição formal). Uma sequência é uma lista ordenada de números (a_n)_{n=1}^\infty. Dizer que essa sequência “converge” para um número L significa que, conforme n vai ficando cada vez maior, os termos a_n se aproximam cada vez mais de L: depois de um certo ponto, todos os termos ficam tão perto de L quanto a gente quiser.
Passo 3
Para tornar isso rigoroso precisamos controlar “tão perto quanto a gente quiser”. O padrão usado em análise é medir a distância entre a_n e L pelo valor absoluto |a_n-L|. A ideia é: para qualquer margem de erro dada, existe um índice a partir do qual todos os termos da sequência ficam dentro dessa margem.
Passo 4
Agora a definição formal (a forma que cai na prova). Use a seguinte condição de “epsilon–N”:
\text{A sequência }(a_n)_{n=1}^\infty\text{ converge para }L \quad\text{se, e somente se,}\quad \forall \varepsilon>0\\ \exists N\in\mathbb{N}\\ \text{tal que}\\ \forall n\ge N:\\ |a_n-L|<\varepsilon.
Explicando cada parte:
\varepsilon>0 é qualquer margem de erro que o examinador (ou você) escolher, por menor que seja.
\exists N\in\mathbb{N} significa que existe um índice natural N que depende de \varepsilon.
A condição \forall n\ge N:\\ |a_n-L|<\varepsilon diz que a partir desse índice N todos os termos da sequência ficam dentro da bola de raio \varepsilon ao redor de L.
Se isso vale para todo \varepsilon>0, então L é o limite da sequência.
Passo 5
Exemplo prático (modelo de resolução que você pode copiar para a prova). Mostrar que a_n=\dfrac{1}{n} converge para 0.
Começo com a condição que quero satisfazer:
|a_n-0|=\left|\dfrac{1}{n}\right|=\dfrac{1}{n}.
Dado \varepsilon>0, quero escolher N tal que, para todo n\ge N, \dfrac{1}{n}<\varepsilon. Basta garantir n>\dfrac{1}{\varepsilon}. Como sempre existem inteiros maiores que qualquer número real, posso escolher, por exemplo,
N=\left\lceil \dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil.
Então para todo n\ge N vale n\ge N\ge \dfrac{1}{\varepsilon}, logo \dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{N}\le \varepsilon. Isso completa a prova de convergência para 0.
Passo 6
Exemplo de sequência que não converge (maneira típica de provar divergência). Considere b_n=(-1)^n. Os termos alternam entre 1 e -1. Se b_n tivesse limite L, então as subsequências dos índices pares e ímpares teriam que convergir para o mesmo L. Mas a subsequência par tende a 1 e a ímpar tende a -1, logo seriam dois limites distintos — contradição. Portanto b_n não converge.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova:
Para provar convergência: comece “Seja \varepsilon>0 fixo. Escolha N (função de \varepsilon) tal que para todo n\ge N … etc.” Mostre a desigualdade final |a_n-L|<\varepsilon.
Para provar divergência: uma forma é escolher um \varepsilon_0>0 explícito e mostrar que para todo N existe n\ge N com |a_n-L|\ge \varepsilon_0; outra forma é usar subsequências que têm limites diferentes.
Lembre de explicitar onde depende cada escolha (por exemplo, N depende de \varepsilon). Isso é frequentemente cobrado nos critérios formais.
Resposta
A sequência (a_n)_{n=1}^\infty converge para L se, e somente se,