( \mathbf{1 , 0} ponto) Construa o gráfico do MHS dado por:
X(t)=3 \cos (6 t)

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico do MHS dado por \,X(t)=3\cos(6t)\,.\n
Informações fornecidas:
\,X(t)=3\cos(6t)\, é a lei do movimento.
O que precisamos obter para desenhar o gráfico: amplitude, período, frequência, fase (se houver), pontos principais (máximos, mínimos, zeros) e instruções para esboçar a curva em função do tempo.

Passo 2

Vamos entender, bem devagarinho, o que representa cada parte de uma função do tipo \,X(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\,:
\,A\, é a amplitude — o maior valor absoluto que X atinge (positivo e negativo).
\,\omega\, é a frequência angular em rad/s — controla a rapidez das oscilações.
\,T\, é o período (tempo de uma oscilação completa) dado por \,T=\dfrac{2\pi}{\omega}\,.
\,f\, é a frequência em Hz (oscilações por segundo) dada por \,f=\dfrac{\omega}{2\pi}\,.
\,\varphi\, é a fase inicial (deslocamento horizontal).
Para desenhar uma senoide precisamos marcar no eixo do tempo os instantes dos máximos, zeros e mínimos, e saber a amplitude vertical.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função \,X(t)=3\cos(6t)\,:
Identificamos \,A=3\,,\\ \omega=6\,,\\ \varphi=0\,.
Calculemos o período:
T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}.
Calculemos a frequência:
f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{6}{2\pi}=\dfrac{3}{\pi}\\ \text{Hz}\approx 0{,}9549\\ \text{Hz}.
Então uma oscilação completa leva \,\dfrac{\pi}{3}\, unidades de tempo (aprox. 1{,}0472).

Passo 4

Encontrar os máximos e mínimos é simples com o cosseno:
Máximos ocorrem quando \cos(6t)=1\Rightarrow 6t=2\pi k. Assim
t=\dfrac{2\pi k}{6}=\dfrac{\pi k}{3}=kT,\qquad k\in\mathbb{Z},
e o valor é \,X=3 (amplitude positiva).
Mínimos ocorrem quando \cos(6t)=-1\Rightarrow 6t=\pi+2\pi k. Assim
t=\dfrac{\pi(1+2k)}{6}=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{T}{2}+kT,
e o valor é \,X=-3.

Passo 5

Encontrar os zeros (onde a curva cruza o eixo X=0):
Zeros quando \cos(6t)=0\Rightarrow 6t=\dfrac{\pi}{2}+\pi k. Assim
t=\dfrac{\pi/2+\pi k}{6}=\dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{T}{4}+k\dfrac{T}{2}.
Ou seja, zeros em \,t=\dfrac{\pi}{12},\\ \dfrac{\pi}{4},\\ \dfrac{5\pi}{12},\dots alternando sinal da ordenada (de + para − ou vice‑versa).

Passo 6

Verificação por derivada (para entender melhor a lógica dos extremos):
A velocidade (derivada) é
X'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(3\cos(6t)\bigr)=-3\cdot 6\sin(6t)=-18\sin(6t).
Extremos quando X'(t)=0\Rightarrow \sin(6t)=0\Rightarrow 6t=k\pi\Rightarrow t=\dfrac{k\pi}{6}.
Para k par temos máximos ( t=0,\pi/3,\dots), para k ímpar temos mínimos ( t=\pi/6, \pi/2,\dots), como já vimos antes. Isso confirma que os instantes estão corretos.

Passo 7

Concentre-se em desenhar um período [0,T] para visualizar bem. Pontos-chave no intervalo [0,\pi/3]:
\begin{aligned} t&=0, & X(0)&=3\quad(\text{máximo})\\[4pt] t&=\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{T}{4}, & X\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr)&=0\\[4pt] t&=\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{T}{2}, & X\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)&=-3\quad(\text{mínimo})\\[4pt] t&=\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3T}{4}, & X\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)&=0\\[4pt] t&=\dfrac{\pi}{3}=T, & X\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)&=3\quad(\text{volta ao máximo}) \end{aligned}áíá
Com esses pontos você já consegue traçar a curva: sai de 3 em t=0, decresce suavemente até 0 em t=\pi/12, alcança -3 em t=\pi/6, volta a 0 em t=\pi/4 e completa o período em t=\pi/3 em 3.]

Passo 8

Como desenhar passo a passo (prático, para a prova):
  1. No eixo vertical marque X=+3 e X=-3.
  2. No eixo horizontal marque t=0,\\ t=\dfrac{\pi}{12},\\ t=\dfrac{\pi}{6},\\ t=\dfrac{\pi}{4},\\ t=\dfrac{\pi}{3}. Esses marcos dividem o período em segmentos onde a curva muda de sinal.
  3. Coloque os pontos do passo anterior e ligue-os com uma curva suave em forma de cosseno (curva ondulada, sem quinas).
  4. Repita o padrão para a direita e para a esquerda se quiser mais períodos. Lembre-se: a curva é contínua e periódica com simetria de cosseno (máximo em t=0).

Passo 9

Comentário motivador: você já tem tudo — amplitude, período, zeros e extremos. Com esses pontos fica fácil esboçar rapidamente o gráfico em prova. Respira fundo: desenhar uma senoide é só marcar e ligar suavemente.

Resposta

Amplitude =3
Período T=\dfrac{\pi}{3}
Frequência f=\dfrac{3}{\pi}\\ \text{Hz}
Fase \varphi=0
Máximos: t=k\dfrac{\pi}{3}, X=3
Mínimos: t=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}, X=-3
Zeros: t=\dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}{6}

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