(
ponto) Uma mola está presa em um teto, e um balde de areia é pendurado na outra extremidade da mola. O peso do balde com a areia é de
e a fase (
) igual a 0,45 rad. Ainda, sabendo-se que a amplitude equivale a 93 cm e a constante elástica da mola
, pede-se:
a) A equação MHS que descreve essa situação;
b) A posição do balde no instante
;
c) A frequência e o período;
d) A posição do objeto no instante
;
a) A equação MHS que descreve essa situação;
b) A posição do balde no instante
c) A frequência e o período;
d) A posição do objeto no instante
Passo 1
O enunciado dá uma mola presa no teto com um balde de areia pendurado. As informações importantes são:
- Peso do balde com areia:
. - Fase (deslocamento de fase) inicial:
. - Amplitude do movimento:
. - Constante elástica da mola:
.
As perguntas pedem:
a) a equação do movimento harmônico simples (MHS) que descreve a situação;
b) a posição do balde no instante;
c) a frequência e o período do movimento;
d) a posição do objeto no instante.
Passo 2
Primeiro precisamos obter a massa do balde. Relação entre peso e massa:
, onde
é o peso em newtons,
a massa em quilogramas e
a aceleração da gravidade. Vou usar
(valor usual em exercícios).
Cálculo da massa:
Cálculo da massa:
Agora realizo a conta passo a passo:
Expliquei: é só dividir o peso por
para achar a massa.
Passo 3
Para um MHS de massa e mola sem amortecimento, a pulsação (frequência angular) é
onde
é a constante elástica e
a massa. Vou calcular
usando os valores:
Para facilitar os cálculos, note que
também é válido, porque
; usei antes essa ideia para checar consistência. Fazendo a raiz:
Expliquei:
é quantas “radianos por segundo” a oscilação percorre. Esta fórmula vem da equação do movimento para massa-mola linear.
Passo 4
A equação geral do MHS (escolhendo a forma cosseno) é
onde:
-
é a posição instantânea (m); -
é a amplitude (m); -
é a pulsação (rad/s); -
é a fase inicial (rad); -
é o tempo (s).
Substituindo os valores numéricos (com, , ):
Expliquei por que escolhi a forma cosseno: é uma forma padrão e a fase
já acomoda qualquer deslocamento inicial.
Passo 5
Agora calculo a posição no instante
. Basta avaliar a função em
:
Cálculo do cosseno:
Portanto
Expliquei: é direto — coloque
na equação do MHS e calcule o cosseno.
Passo 6
Agora a frequência e o período. Relações:
Usando
:
Expliquei:
é o número de oscilações por segundo;
é o tempo de uma oscilação completa.
Passo 7
Finalmente, a posição no instante
. Usamos a equação:
Esse ângulo pode ser muito grande, então uso a periodicidade do cosseno:
. Em vez de calcular um cosseno de um número enorme, encontro a parte fracionária das voltas completas:
- calculo a frequência
; - número de ciclos em 60 s:
ciclos; - a parte não inteira (fração) é
ciclo (aprox.); a correspondente fase residual é .
Somando a fase inicial:
Agora calculo o cosseno:
Logo
Observação: por arredondamentos intermediários o valor pode variar um pouco; usando as aproximações dadas acima obtemos
.
Resposta
a)
\n
b) \n
c) \n
d)
b)
c)
d)