( \mathbf{0 , 8} ponto) Uma mola está presa em um teto, e um balde de areia é pendurado na outra extremidade da mola. O peso do balde com a areia é de 181,45 \mathrm{~N} e a fase ( \varphi ) igual a 0,45 rad. Ainda, sabendo-se que a amplitude equivale a 93 cm e a constante elástica da mola 2,2.10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{m}, pede-se:
a) A equação MHS que descreve essa situação;
b) A posição do balde no instante t=0;
c) A frequência e o período;
d) A posição do objeto no instante t=1 \mathrm{~min};

Passo 1

O enunciado dá uma mola presa no teto com um balde de areia pendurado. As informações importantes são:
  • Peso do balde com areia: \,181{,}45\\ \mathrm{N}.
  • Fase (deslocamento de fase) inicial: \,\varphi=0{,}45\\ \mathrm{rad}.
  • Amplitude do movimento: \,A=93\\ \mathrm{cm}=0{,}93\\ \mathrm{m}.
  • Constante elástica da mola: \,k=2{,}2\cdot10^{3}\\ \mathrm{N/m}.
    As perguntas pedem:
    a) a equação do movimento harmônico simples (MHS) que descreve a situação;
    b) a posição do balde no instante \,t=0;
    c) a frequência e o período do movimento;
    d) a posição do objeto no instante \,t=1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Primeiro precisamos obter a massa do balde. Relação entre peso e massa: \,W=mg, onde \,W é o peso em newtons, \,m a massa em quilogramas e \,g a aceleração da gravidade. Vou usar \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor usual em exercícios).
Cálculo da massa:
m=\frac{W}{g}=\frac{181{,}45}{9{,}8}.
Agora realizo a conta passo a passo:
m\approx 18{,}51734694\\ \mathrm{kg}\approx 18{,}52\\ \mathrm{kg}.
Expliquei: é só dividir o peso por g para achar a massa.

Passo 3

Para um MHS de massa e mola sem amortecimento, a pulsação (frequência angular) é
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},
onde \,k é a constante elástica e \,m a massa. Vou calcular \omega usando os valores:
\omega=\sqrt{\frac{2{,}2\cdot 10^{3}}{18{,}51734694}}.
Para facilitar os cálculos, note que \frac{k}{m}=\frac{k g}{W} também é válido, porque m=W/g; usei antes essa ideia para checar consistência. Fazendo a raiz:
\omega\approx 10{,}90\\ \mathrm{rad/s}.
Expliquei: \omega é quantas “radianos por segundo” a oscilação percorre. Esta fórmula vem da equação do movimento para massa-mola linear.

Passo 4

A equação geral do MHS (escolhendo a forma cosseno) é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • \,x(t) é a posição instantânea (m);
  • \,A é a amplitude (m);
  • \,\omega é a pulsação (rad/s);
  • \,\varphi é a fase inicial (rad);
  • \,t é o tempo (s).
    Substituindo os valores numéricos (com \,A=0{,}93\\ \mathrm{m}, \,\omega\approx 10{,}90\\ \mathrm{rad/s}, \,\varphi=0{,}45\\ \mathrm{rad}):
x(t)=0{,}93\cos(10{,}90\,t+0{,}45)\\ \mathrm{m}.
Expliquei por que escolhi a forma cosseno: é uma forma padrão e a fase \varphi já acomoda qualquer deslocamento inicial.

Passo 5

Agora calculo a posição no instante \,t=0. Basta avaliar a função em t=0:
x(0)=0{,}93\cos(0+0{,}45)=0{,}93\cos(0{,}45).
Cálculo do cosseno:
\cos(0{,}45)\approx 0{,}900447.
Portanto
x(0)\approx 0{,}93\times 0{,}900447\approx 0{,}8374\\ \mathrm{m}.
Expliquei: é direto — coloque t=0 na equação do MHS e calcule o cosseno.

Passo 6

Agora a frequência e o período. Relações:
f=\frac{\omega}{2\pi},\qquad T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}.
Usando \,\omega\approx 10{,}90\\ \mathrm{rad/s}:
f\approx\frac{10{,}90}{2\pi}\approx 1{,}735\\ \mathrm{Hz},
T\approx\frac{1}{1{,}735}\approx 0{,}576\\ \mathrm{s}.
Expliquei: f é o número de oscilações por segundo; T é o tempo de uma oscilação completa.

Passo 7

Finalmente, a posição no instante t=1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}. Usamos a equação:
x(60)=0{,}93\cos(10{,}90\times 60 + 0{,}45).
Esse ângulo pode ser muito grande, então uso a periodicidade do cosseno: \cos(\theta+2\pi n)=\cos(\theta). Em vez de calcular um cosseno de um número enorme, encontro a parte fracionária das voltas completas:
  • calculo a frequência \,f\approx 1{,}735\\ \mathrm{Hz};
  • número de ciclos em 60 s: \,N=f\cdot 60\approx 1{,}735\times 60\approx 104{,}1 ciclos;
  • a parte não inteira (fração) é \,0{,}1 ciclo (aprox.); a correspondente fase residual é \,2\pi\times 0{,}1\approx 0{,}628\\ \mathrm{rad}.
    Somando a fase inicial:
\theta_{\text{res}} \approx 0{,}628+0{,}45\approx 1{,}078\\ \mathrm{rad}.
Agora calculo o cosseno:
\cos(1{,}078)\approx 0{,}473.
Logo
x(60)\approx 0{,}93\times 0{,}473\approx 0{,}440\\ \mathrm{m}.
Observação: por arredondamentos intermediários o valor pode variar um pouco; usando as aproximações dadas acima obtemos x(60)\approx 0{,}44\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) x(t)=0{,}93\cos(10{,}90\,t+0{,}45)\\ \mathrm{m}\n
b) x(0)\approx 0{,}8374\\ \mathrm{m}\n
c) f\approx 1{,}735\\ \mathrm{Hz},\\ T\approx 0{,}576\\ \mathrm{s}\n
d) x(60)\approx 0{,}44\\ \mathrm{m}

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