Resolva as inequações:
2 x^{4}-7 x^{3}-8 x^{2}+12 x+20>12-2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
2x^{4}-7x^{3}-8x^{2}+12x+20 > 12 - 2x.
O conteúdo aqui é inequação polinomial de grau 4. Vamos primeiro passar tudo para um lado e obter um único polinômio, depois fatorar e usar o quadro de sinais para determinar onde ele é positivo.

Passo 2

Subtraindo 12-2x de ambos os lados, obtemos
2x^{4}-7x^{3}-8x^{2}+12x+20 \;-\;(12 - 2x)\;>\;0
ou seja
2x^{4}-7x^{3}-8x^{2}+14x+8 \;>\;0.

Passo 3

Para fatorar 2x^{4}-7x^{3}-8x^{2}+14x+8, procuramos raízes racionais. Testando x=4, vemos que anula o polinômio. Dividindo por (x-4) (síntese), sobra o cúbico
2x^{3}+x^{2}-4x-2.
Esse cúbico tem x=-\tfrac12 como raiz; dividindo por \bigl(x+\tfrac12\bigr) sobra 2x^{2}-4. Então
2x^{4}-7x^{3}-8x^{2}+14x+8 =2\,(x-4)\,\Bigl(x+\tfrac12\Bigr)\,\bigl(x^{2}-2\bigr).
E como x^{2}-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}), ficamos com
2x^{4}-7x^{3}-8x^{2}+14x+8 =2\,(x-4)\,\Bigl(x+\tfrac12\Bigr)\,(x-\sqrt{2})\,(x+\sqrt{2}).

Passo 4

O fator 2 é sempre positivo e não muda o sinal. As raízes simples em ordem crescente são
x=-\sqrt{2},\quad x=-\tfrac12,\quad x=\sqrt{2},\quad x=4.
Como é um polinômio de grau 4 com coeficiente principal positivo, tem sinal “ +” para x\to-\infty, troca de sinal em cada raiz simples e volta a “ +” para x\to+\infty. Portanto o produto é positivo em
(-\infty,-\sqrt{2})\;\cup\;(-\tfrac12,\sqrt{2})\;\cup\;(4,\infty).

Resposta

x\in(-\infty,-\sqrt{2})\;\cup\;(-\tfrac12,\sqrt{2})\;\cup\;(4,\infty).

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