Resolva as inequações:
-x^{3}+x^{2}+4 x<4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
-x^{3} + x^{2} + 4x < 4.
O conteúdo é inequação polinomial de grau 3. Vamos passar tudo para o lado esquerdo, montar um único polinômio e depois fatorá-lo para estudar seu sinal.

Passo 2

Subtraindo 4 de ambos os lados, obtemos
-x^{3} + x^{2} + 4x - 4 < 0.
Para facilitar a fatoração, multiplicamos por -1, o que inverte o sinal da desigualdade:
x^{3} - x^{2} - 4x + 4 > 0.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio
f(x)=x^{3} - x^{2} - 4x + 4.
Testando x=1, vemos que f(1)=1-1-4+4=0. Logo (x-1) é fator. Fazendo a divisão ou comparando coeficientes, achamos
x^{3} - x^{2} - 4x + 4 = (x-1)(x^{2}-4).
E ainda
x^{2}-4 = (x-2)(x+2).
Portanto
f(x) = (x-1)(x-2)(x+2).

Passo 4

Agora estudamos o sinal de
f(x)=(x-1)(x-2)(x+2)
considerando as raízes x=-2,1,2. Como o coeficiente líder é positivo, o sinal de f(x) é
  • negativo em (-\infty,-2),
  • positivo em (-2,1),
  • negativo em (1,2),
  • positivo em (2,\infty).

Passo 5

Voltando à inequação transformada f(x)>0, concluímos que ela vale para
x\in(-2,1)\cup(2,\infty).

Resposta

\displaystyle (-2,1)\cup(2,\infty)

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