( \mathbf{2 , 0} pontos) A expressão geral de um operador linear A: R^{2} \rightarrow R^{2} é A(x, y)=(a x+b y, c x+ dy). O operador linear A transforma os vetores v_{1}=(1,1) e v_{2}=(2,3) nos vetores A\left(v_{1}\right)=(1,2) e A\left(v_{2}\right)=(3,4). A respeito das informações, responda:
a) Mostre que o conjunto \alpha=\{(1,1),(2,3)\} forma uma base do R^{2}.
b) Escrever um vetor genérico v=(x, y) \in R^{2} como uma combinação linear dos vetores v_{1} e v_{2}.
c) Achar a expressão da transformação linear A.
Passo 1
O enunciado trata de um operador linear A\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2 cuja expressão geral é
Precisamos (i) mostrar que \alpha=\{v_1,v_2\} é base de \mathbb R^2, (ii) escrever um vetor genérico (x,y) como combinação de v_1,v_2 e (iii) determinar a fórmula de A.
Passo 2
Para ver que \alpha é base, basta checar que v_1 e v_2 são linearmente independentes. Considere a matriz cujas colunas são v_1,v_2:
M = \begin{pmatrix}1 & 2\\\\ 1 & 3\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(M) = 1\cdot3 - 2\cdot1 = 1 \neq 0,
logo \{v_1,v_2\} é um conjunto de dois vetores independentes em \mathbb R^2 e, portanto, é base.
Passo 3
Queremos (x,y) = \alpha\,v_1 + \beta\,v_2\), ou seja,
\[\begin{cases} \alpha + 2\beta = x,\\\ \alpha + 3\beta = y. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda fica
( \alpha+3\beta ) - ( \alpha+2\beta ) = y - x \quad\Longrightarrow\quad \beta = y - x.
Então (\alpha = x - 2\beta = x - 2(y - x) = 3x - 2y]. Assim (x,y) = (3x - 2y)\,v_1 + (y - x)\,v_2.