( \mathbf{2 , 0} pontos) A expressão geral de um operador linear A: R^{2} \rightarrow R^{2} é A(x, y)=(a x+b y, c x+ dy). O operador linear A transforma os vetores v_{1}=(1,1) e v_{2}=(2,3) nos vetores A\left(v_{1}\right)= (1,2) e A\left(v_{2}\right)=(3,4). A respeito das informações, responda:
a) Mostre que o conjunto \alpha=\{(1,1),(2,3)\} forma uma base do R^{2}.
b) Escrever um vetor genérico v=(x, y) \in R^{2} como uma combinação linear dos vetores v_{1} e v_{2}.
c) Achar a expressão da transformação linear A.

Passo 1

O enunciado trata de um operador linear A\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2 cuja expressão geral é
A(x,y) = (a x + b y,\; c x + d y),
e sabemos que
v_1 = (1,1),\quad v_2 = (2,3),\quad A(v_1)=(1,2),\quad A(v_2)=(3,4).
Precisamos (i) mostrar que \alpha=\{v_1,v_2\} é base de \mathbb R^2, (ii) escrever um vetor genérico (x,y) como combinação de v_1,v_2 e (iii) determinar a fórmula de A.

Passo 2

Para ver que \alpha é base, basta checar que v_1 e v_2 são linearmente independentes. Considere a matriz cujas colunas são v_1,v_2:
M = \begin{pmatrix}1 & 2\\\\ 1 & 3\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(M) = 1\cdot3 - 2\cdot1 = 1 \neq 0,
logo \{v_1,v_2\} é um conjunto de dois vetores independentes em \mathbb R^2 e, portanto, é base.

Passo 3

Queremos (x,y) = \alpha\,v_1 + \beta\,v_2\), ou seja, \[\begin{cases} \alpha + 2\beta = x,\\\ \alpha + 3\beta = y. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda fica
( \alpha+3\beta ) - ( \alpha+2\beta ) = y - x \quad\Longrightarrow\quad \beta = y - x.
Então (\alpha = x - 2\beta = x - 2(y - x) = 3x - 2y]. Assim
(x,y) = (3x - 2y)\,v_1 + (y - x)\,v_2.

Passo 4

Pela linearidade de A,
A(x,y) = A\bigl(\alpha v_1 + \beta v_2\bigr) = \alpha\,A(v_1) + \beta\,A(v_2) = (3x-2y)\,(1,2) + (y-x)\,(3,4).
Calculando cada componente:
\begin{aligned} \text{1ª comp.} &= (3x-2y)\cdot1 + (y-x)\cdot3 = 3x - 2y + 3y - 3x = y,\\\ \text{2ª comp.} &= (3x-2y)\cdot2 + (y-x)\cdot4 = 6x - 4y + 4y - 4x = 2x. \end{aligned}ªª
Logo
A(x,y) = (y,\,2x).

Resposta

a) Como \det\!\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&3\end{pmatrix}=1\neq0, os vetores são independentes e formam base de \mathbb R^2.
b)
(x,y) = (3x - 2y)\,(1,1) + (y - x)\,(2,3).
c)
A(x,y) = (y,\,2x).

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