Questāo 2 (3 pontos). Considere R a regiāo do plano limitada pelas retas de equações x+y=1, x+y=2, x=0 e y=0.
Item 2.1. ( 1,5 ponto). Considere a mudança de variáveis u=x+y e v=x-y. Descreva e esboce R nas coordenadas u e v e calcule
\frac{\partial(\boldsymbol{x}, y)}{\partial(u, v)}
\iint_{\pi}\left(x^{2}-y^{2}\right) d A

Passo 1

O enunciado dá a região do plano limitada pelas retas x+y=1, x+y=2, x=0 e y=0. Pede-se:
  • Usar a mudança de variáveis u=x+y e v=x-y.
  • Descrever e esboçar a região R nas coordenadas (u,v).
  • Calcular o jacobiano \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}.
  • Calcular \displaystyle \iint_{R}\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dA.
Informações relevantes dadas:
  • As duas retas paralelas x+y=1 e x+y=2 tornam u natural como coordenada entre 1 e 2.
  • As semi-retas x=0 e y=0 impõem restrições de não-negatividade em x e y.

Passo 2

Primeiro, resolver explicitamente x e y em função de u e v. Temos o sistema
\begin{cases} u = x+y,\\[4pt] v = x-y. \end{cases}
Somando e subtraindo essas equações:
u+v = (x+y)+(x-y)=2x \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{u+v}{2},
u-v = (x+y)-(x-y)=2y \quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{u-v}{2}.
Essas expressões serão usadas para o jacobiano e para transformar o integrando.]

Passo 3

Calcular o jacobiano \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}. Definição: é o determinante da matriz das derivadas parciais
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial v} \\[8pt] \displaystyle \frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}.
Das fórmulas x=\dfrac{u+v}{2} e y=\dfrac{u-v}{2} obtemos as derivadas:
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{1}{2},\quad \frac{\partial x}{\partial v}=\frac{1}{2},\quad \frac{\partial y}{\partial u}=\frac{1}{2},\quad \frac{\partial y}{\partial v}=-\frac{1}{2}.
Logo
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[6pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = -\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}.
Observação prática para a integral de área: usa-se o fator de escala \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\dfrac{1}{2} porque interessa o módulo do fator de área.]

Passo 4

Descrever a região R em (u,v). Usar as desigualdades dadas:
  • As retas x+y=1 e x+y=2 viram u=1 e u=2. Logo \,1\le u\le2.
  • A condição x\ge0 significa x=\dfrac{u+v}{2}\ge0\Rightarrow u+v\ge0\Rightarrow v\ge -u.
  • A condição y\ge0 significa y=\dfrac{u-v}{2}\ge0\Rightarrow u-v\ge0\Rightarrow v\le u.
Portanto, em coordenadas (u,v) a região é
\{(u,v)\mid 1\le u\le 2,\\\ -u\le v\le u\}.
Para esboçar: desenhar as duas retas verticais u=1 e u=2 e as duas retas diagonais v=u e v=-u. A região é o quadrilátero com vértices (1,-1), (1,1), (2,2) e (2,-2) — simétrico em relação ao eixo v=0.

Passo 5

Transformar o integrando e escrever a integral em (u,v). Notar que
x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)=u v.
O elemento de área transforma como dA = \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv=\dfrac{1}{2}\,du\,dv. Então
\iint_{R}(x^{2}-y^{2})\,dA =\iint_{(u,v)\\ \text{descritos}} u v\cdot \frac{1}{2}\,du\,dv.
Usando os limites encontrados:
\iint_{R}(x^{2}-y^{2})\,dA =\int_{u=1}^{2}\int_{v=-u}^{u} \frac{1}{2}\,u v\,dv\,du.

Passo 6

Calcular a integral explicitamente. Primeiro a integral interna em v:
\int_{v=-u}^{u} v\,dv = \left[\frac{v^{2}}{2}\right]_{-u}^{u} = \frac{u^{2}}{2}-\frac{u^{2}}{2}=0.
Como o integrando contém um fator v e os limites em v são simétricos ( -u a u), a integral interna é zero para cada u. Assim toda a integral dupla vale zero:
\iint_{R}(x^{2}-y^{2})\,dA = \int_{1}^{2} \frac{1}{2}u\cdot 0 \, du = 0.

Resposta

Região em (u,v): \{(u,v)\mid 1\le u\le 2,\\\ -u\le v\le u\}
\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = -\dfrac{1}{2} (logo \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\dfrac{1}{2})
\displaystyle \iint_{R}(x^{2}-y^{2})\,dA = 0

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