Questāo 2 (3 pontos). Considere R a regiāo do plano limitada pelas retas de equações x+y=1, x+y=2, x=0 e y=0.
Item 2.1. ( 1,5 ponto). Considere a mudança de variáveis u=x+y e v=x-y. Descreva e esboce R nas coordenadas u e v e calcule
Observação prática para a integral de área: usa-se o fator de escala \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\dfrac{1}{2} porque interessa o módulo do fator de área.]
Passo 4
Descrever a região R em (u,v). Usar as desigualdades dadas:
As retas x+y=1 e x+y=2 viram u=1 e u=2. Logo \,1\le u\le2.
A condição x\ge0 significa x=\dfrac{u+v}{2}\ge0\Rightarrow u+v\ge0\Rightarrow v\ge -u.
A condição y\ge0 significa y=\dfrac{u-v}{2}\ge0\Rightarrow u-v\ge0\Rightarrow v\le u.
Portanto, em coordenadas (u,v) a região é
\{(u,v)\mid 1\le u\le 2,\\\ -u\le v\le u\}.
Para esboçar: desenhar as duas retas verticais u=1 e u=2 e as duas retas diagonais v=u e v=-u. A região é o quadrilátero com vértices (1,-1), (1,1), (2,2) e (2,-2) — simétrico em relação ao eixo v=0.
Passo 5
Transformar o integrando e escrever a integral em (u,v). Notar que
x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)=u v.
O elemento de área transforma como dA = \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv=\dfrac{1}{2}\,du\,dv. Então
\iint_{R}(x^{2}-y^{2})\,dA =\iint_{(u,v)\\ \text{descritos}} u v\cdot \frac{1}{2}\,du\,dv.
Como o integrando contém um fator v e os limites em v são simétricos ( -u a u), a integral interna é zero para cada u. Assim toda a integral dupla vale zero:
\iint_{R}(x^{2}-y^{2})\,dA = \int_{1}^{2} \frac{1}{2}u\cdot 0 \, du = 0.
Resposta
Região em (u,v): \{(u,v)\mid 1\le u\le 2,\\\ -u\le v\le u\} \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = -\dfrac{1}{2} (logo \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\dfrac{1}{2}) \displaystyle \iint_{R}(x^{2}-y^{2})\,dA = 0