Questão 3 (3 pontos). Considere o sólido W \subset \mathbb{R}^{3} dos pontos que estão acima e sobre o parabola que a densidade de massa em cada ponto a esfera de equação x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1. Supon que a densidade de massa em cada ponto (x, y) \in W seja dada por \rho(x, y, z)=k(x^{2}+y^{2}) (unidades pertinentes), sendo k uma constante positiva. Determine a massa de W.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Região: W é o sólido formado pelos pontos que pertencem à esfera
x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\le 1
e que estão por cima do paraboloide
z=x^{2}+y^{2}.
  • Densidade de massa: \rho(x,y,z)=k(x^{2}+y^{2}), com k>0.
  • Pergunta: determinar a massa de W, isto é calcular a integral de massa
M=\iiint_{W}\rho(x,y,z)\,dV.

Passo 2

Determinar a projeção radial (o domínio em r) usando a interseção entre a esfera e o paraboloide — isso nos dá os limites em r e em z.
  • Usamos coordenadas cilíndricas: r^{2}=x^{2}+y^{2} e z permanece z. Substituindo z=r^{2} (paraboloide) na equação da esfera obtemos a condição de interseção:
r^{2}+(r^{2}-1)^{2}=1.
  • Expandindo e simplificando:
r^{2}+r^{4}-2r^{2}+1=1\quad\Rightarrow\quad r^{4}-r^{2}=0\quad\Rightarrow\quad r^{2}(r^{2}-1)=0.
  • Logo r=0 ou r=1. A interseção não-trivial é o círculo de raio r=1 com z=1. Portanto os valores de r relevantes são 0\le r\le 1.
Agora, para um dado r\in[0,1], os pontos dentro da esfera têm coordenada z entre
z_{\text{inf}}=1-\sqrt{1-r^{2}}\quad\text{e}\quad z_{\text{sup}}=1+\sqrt{1-r^{2}}.
Devemos tomar a parte do interior da esfera que está por cima do paraboloide z=r^{2}. Para r\in[0,1] vale
r^{2}\ge 1-\sqrt{1-r^{2}},
pois escrevendo s=\sqrt{1-r^{2}}\in[0,1] a desigualdade vira 1-s^{2}\ge 1-s, isto é s^{2}\le s, verdadeira para s\in[0,1]. Portanto o limite inferior em z para W é z=r^{2} e o limite superior é z=1+\sqrt{1-r^{2}}.

Passo 3

Mudar para coordenadas cilíndricas e montar a integral tripla.
  • Em coordenadas cilíndricas:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
  • A densidade fica \rho=k r^{2} (pois x^{2}+y^{2}=r^{2}).
  • O integrando \rho\,dV torna-se k r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta\,dz = k r^{3}\,dr\,d\theta\,dz.
  • Os limites são \theta\in[0,2\pi], r\in[0,1], z\in[r^{2},\,1+\sqrt{1-r^{2}}].
Assim a massa é
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{z=r^{2}}^{\,1+\sqrt{1-r^{2}}} k\,r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.
Integrando primeiro em z (pois não depende de z o integrando depois da transformação), obtemos
M= \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} k r^{3}\bigl(1+\sqrt{1-r^{2}}-r^{2}\bigr)\,dr =2\pi k \int_{0}^{1} r^{3}\bigl(1-r^{2}\bigr)\,dr \;+\; 2\pi k \int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{1-r^{2}}\,dr.
Separei em duas integrais para calcular com calma.

Passo 4

Calcular a primeira integral simples:
I_{1}=\int_{0}^{1} r^{3}(1-r^{2})\,dr=\int_{0}^{1}(r^{3}-r^{5})\,dr.
Antiderivando:
\int r^{3}\,dr=\frac{r^{4}}{4},\qquad \int r^{5}\,dr=\frac{r^{6}}{6},
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I_{1}=\left[\frac{r^{4}}{4}-\frac{r^{6}}{6}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{12}.

Passo 5

Calcular a segunda integral que exige substituição:
I_{2}=\int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{1-r^{2}}\,dr.
Fazemos a substituição u=1-r^{2}. Então du=-2r\,dr e r^{2}=1-u. Assim
r^{3}\,dr = r^{2}\cdot r\,dr = (1-u)\cdot\left(-\frac{du}{2}\right).
Os limites: quando r=0 tem u=1; quando r=1 tem u=0. Portanto
I_{2}=\int_{u=1}^{0} (1-u)\sqrt{u}\left(-\frac{1}{2}\right)du =\frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1-u)u^{1/2}\,du.
Separando:
I_{2}=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du - \int_{0}^{1} u^{3/2}\,du\right).
Calcule as potências:
\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du=\left[\frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3},\qquad \int_{0}^{1} u^{3/2}\,du=\left[\frac{u^{5/2}}{5/2}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{5}.
Portanto
I_{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{5}\right)=\frac{1}{2}\cdot 2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{2}{15}.

Passo 6

Somar as duas integrais e multiplicar pelos fatores externos para obter a massa.
  • Soma dentro do parêntese:
I_{1}+I_{2}=\frac{1}{12}+\frac{2}{15}=\frac{5}{60}+\frac{8}{60}=\frac{13}{60}.
  • Multiplicando por 2\pi k:
M=2\pi k\cdot\frac{13}{60}=\frac{13}{30}\pi k.

Resposta

\dfrac{13\pi k}{30}

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