Questão 3 (3 pontos). Considere o sólido
dos pontos que estão acima e sobre o parabola que a densidade de massa em cada ponto a esfera de equação
. Supon que a densidade de massa em cada ponto
seja dada por
(unidades pertinentes), sendo
uma constante positiva. Determine a massa de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Região:
é o sólido formado pelos pontos que pertencem à esfera
e que estão por cima do paraboloide
- Densidade de massa:
, com . - Pergunta: determinar a massa de
, isto é calcular a integral de massa
Passo 2
Determinar a projeção radial (o domínio em
) usando a interseção entre a esfera e o paraboloide — isso nos dá os limites em
e em
.
- Usamos coordenadas cilíndricas:
e permanece . Substituindo (paraboloide) na equação da esfera obtemos a condição de interseção:
- Expandindo e simplificando:
- Logo
ou . A interseção não-trivial é o círculo de raio com . Portanto os valores de relevantes são .
Agora, para um dado
, os pontos dentro da esfera têm coordenada
entre
Devemos tomar a parte do interior da esfera que está por cima do paraboloide
. Para
vale
pois escrevendo
a desigualdade vira
, isto é
, verdadeira para
. Portanto o limite inferior em
para
é
e o limite superior é
.
Passo 3
Mudar para coordenadas cilíndricas e montar a integral tripla.
- Em coordenadas cilíndricas:
- A densidade fica
(pois ). - O integrando
torna-se . - Os limites são
, , .
Assim a massa é
Integrando primeiro em
(pois não depende de
o integrando depois da transformação), obtemos
Separei em duas integrais para calcular com calma.
Passo 4
Calcular a primeira integral simples:
Antiderivando:
logo
Passo 5
Calcular a segunda integral que exige substituição:
Fazemos a substituição
. Então
e
. Assim
Os limites: quando
tem
; quando
tem
. Portanto
Separando:
Calcule as potências:
Portanto
Passo 6
Somar as duas integrais e multiplicar pelos fatores externos para obter a massa.
- Soma dentro do parêntese:
- Multiplicando por
: