\mathbf{1})(\mathbf{1 , 0} ponto) Qualquer corpo esférico de pequeno raio R , movendo-se com uma pequena velocidade v em um fluído de viscosidade dinâmica \eta, sofre a ação de uma força resistiva F. Admitindo que F depende de \mathrm{R}, \eta e v e que o fator adimensional que figura na relação de dependência é \mathrm{k}=6 \mathrm{p}, determine a equação que nos dá essa dependência.
Dado: A unidade física de viscosidade no Sistema Internacional de Unidades é o Pascal-segundo ( \mathrm{Pa} \cdot \mathrm{s} ).

Passo 1

O enunciado pede a fórmula que relaciona a força resistiva F que age num corpo esférico (pequeno raio) movendo-se com velocidade v em um fluido de viscosidade dinâmica \eta. Informações dadas e incógnitas:
  • Pedido: encontrar a dependência funcional de F em termos de R,\eta,v.
  • Quantidades fornecidas: o raio R, a velocidade v e a viscosidade dinâmica \eta.
  • Foi dito que o fator adimensional (constante sem dimensões) é k=6\pi.
  • Unidade da viscosidade: \text{Pa}\cdot\text{s} (no SI).
    Não se resolve nada ainda; só organizamos o que foi dado.

Passo 2

Vamos assumir, por homogeneidade dimensional, que a dependência é do tipo produto de potências:
F = C\,\eta^{a}R^{b}v^{c},
onde C é uma constante adimensional (no final C=k=6\pi) e a,b,c são expoentes reais a determinar. A ideia é escolher a,b,c de modo que as dimensões (unidades) dos dois lados coincidam.

Passo 3

Escrevemos as dimensões (em termos de massa M, comprimento L e tempo T) de cada grandeza:
[F]=M\,L\,T^{-2}.
Para \eta: como \eta tem unidade \text{Pa}\cdot\text{s} e \text{Pa}=\text{N}\,\text{m}^{-2} com \text{N}=M\,L\,T^{-2}, segue
[\eta]=\text{Pa}\cdot\text{s} = (M\,L^{-1}\,T^{-2})\cdot T = M\,L^{-1}\,T^{-1}.
Além disso
[R]=L,\qquad [v]=L\,T^{-1}.

Passo 4

Agora impondo igualdade dimensional entre os dois lados de F = C\,\eta^{a}R^{b}v^{c} (lembrando que C é adimensional), temos:
para M: 1 = a.
para L: 1 = -a + b + c. (porque [\eta]^{a} contribui com L^{-a}, R^{b} com L^{b} e v^{c} com L^{c})
para T: -2 = -a - c. (porque [\eta]^{a} T^{-a} e v^{c} T^{-c})
Resolvendo: da equação de M vem
a=1.
Substituindo em T:
-2 = -1 - c \quad\Rightarrow\quad c=1.
Substituindo a e c em L:
1 = -1 + b + 1 \quad\Rightarrow\quad b=1.

Passo 5

Logo os expoentes são a=b=c=1. Assim a forma geral é
F = C\,\eta\,R\,v.
Verificação dimensional rápida: [\eta][R][v] = (M\,L^{-1}\,T^{-1})\cdot L\cdot(L\,T^{-1}) = M\,L\,T^{-2} = [F]. Está consistente.

Passo 6

Como o enunciado informa que o fator adimensional é k=6\pi, identificamos C=6\pi. Portanto a expressão final é
F = 6\pi\,\eta\,R\,v.
Isso é a lei de Stokes para baixa velocidade (regime de escoamento laminar e esferas pequenas). Força resistiva proporcional à viscosidade, ao raio e à velocidade — agora você já sabe aplicar essa ideia por dimensão em problemas semelhantes!

Resposta

F = 6\pi\,\eta\,R\,v

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