ponto) Qualquer corpo esférico de pequeno raio R , movendo-se com uma pequena velocidade v em um fluído de viscosidade dinâmica
, sofre a ação de uma força resistiva F. Admitindo que F depende de
e v e que o fator adimensional que figura na relação de dependência é
, determine a equação que nos dá essa dependência.
Dado: A unidade física de viscosidade no Sistema Internacional de Unidades é o Pascal-segundo (
).
Passo 1
O enunciado pede a fórmula que relaciona a força resistiva
que age num corpo esférico (pequeno raio) movendo-se com velocidade
em um fluido de viscosidade dinâmica
. Informações dadas e incógnitas:
- Pedido: encontrar a dependência funcional de
em termos de . - Quantidades fornecidas: o raio
, a velocidade e a viscosidade dinâmica . - Foi dito que o fator adimensional (constante sem dimensões) é
. - Unidade da viscosidade:
(no SI).
Não se resolve nada ainda; só organizamos o que foi dado.
Passo 2
Vamos assumir, por homogeneidade dimensional, que a dependência é do tipo produto de potências:
onde
é uma constante adimensional (no final
) e
são expoentes reais a determinar. A ideia é escolher
de modo que as dimensões (unidades) dos dois lados coincidam.
Passo 3
Escrevemos as dimensões (em termos de massa
, comprimento
e tempo
) de cada grandeza:
Para
: como
tem unidade
e
com
, segue
Além disso
Passo 4
Agora impondo igualdade dimensional entre os dois lados de
(lembrando que
é adimensional), temos:
para :
.
para :
. (porque
contribui com
,
com
e
com
)
para :
. (porque
dá
e
dá
)
para
para
para
Resolvendo: da equação de
vem
Substituindo em
:
Substituindo
e
em
:
Passo 5
Logo os expoentes são
. Assim a forma geral é
Verificação dimensional rápida:
. Está consistente.
Passo 6
Como o enunciado informa que o fator adimensional é
, identificamos
. Portanto a expressão final é
Isso é a lei de Stokes para baixa velocidade (regime de escoamento laminar e esferas pequenas). Força resistiva proporcional à viscosidade, ao raio e à velocidade — agora você já sabe aplicar essa ideia por dimensão em problemas semelhantes!