(
ponto) Resolva a EDO linear de segunda ordem não homogênea abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
O que se pede: encontrar a solução geral
que satisfaça essa EDO (ou seja, a solução da homogênea mais uma solução particular da não homogênea).
Informações relevantes dadas:
- É uma EDO linear com coeficientes constantes.
- A parte não homogênea (lado direito) é um polinômio de grau
: .
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Explicação da técnica: para equações lineares com coeficientes constantes, tentamos soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica em
:
Resolvendo essa quadrática (fatorando):
portanto as raízes são
e
. Como as raízes são distintas e reais, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Breve justificativa: cada raíz
gera a solução
, e combinações lineares dessas soluções formam a solução geral da homogênea.)
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da EDO completa. Método escolhido: coeficientes a determinar (undetermined coefficients), pois a parte não homogênea é um polinômio. Regra prática: se o lado direito é um polinômio de grau
, tentamos um polinômio também de grau
.
Como o lado direito é um polinômio de grau
, tentamos o ansatz
onde
são constantes a determinar. Observação importante (ressonância): se algum termo do palpite coincidisse com uma solução da homogênea (por exemplo
ou
), seria preciso multiplicar o palpite por
. Aqui o palpite é polinomial e não coincide com as soluções exponenciais, então não há necessidade de multiplicar por
.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
. Regra usada: derivada de
é
.
Agora aplicamos o operador
sobre
:
Passo 5
Substituindo as expressões:
Vamos simplificar termo a termo. Primeiro expandir o último produto:
Somando tudo:
Explicação: os coeficientes de
,
e termo constante foram coletados separadamente para poder igualar com o polinômio do lado direito.
Passo 6
Queremos que
seja igual ao lado direito
. Ou seja,
Agora igualamos coeficientes de potências iguais de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Substituindo
:
Coeficiente constante:
Substituindo
e
:
Passo 7
Temos, portanto, a solução particular encontrada:
A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Dica final: se quiser verificar, basta derivar essa expressão duas vezes e substituir em
; o lado esquerdo resultará em
, confirmando que está correta. Força aí — você já tem um padrão pronto para outros problemas parecidos!