( \mathbf{1 , 0} ponto) Resolva a EDO linear de segunda ordem não homogênea abaixo.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=-2 x+4 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y''-y'-2y=-2x+4x^{2}
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa EDO (ou seja, a solução da homogênea mais uma solução particular da não homogênea).
Informações relevantes dadas:
  • É uma EDO linear com coeficientes constantes.
  • A parte não homogênea (lado direito) é um polinômio de grau 2: -2x+4x^{2}.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''-y'-2y=0.
Explicação da técnica: para equações lineares com coeficientes constantes, tentamos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica em r:
r^{2}-r-2=0.
Resolvendo essa quadrática (fatorando):
r^{2}-r-2=(r-2)(r+1)=0,
portanto as raízes são r=2 e r=-1. Como as raízes são distintas e reais, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Breve justificativa: cada raíz r gera a solução e^{rx}, e combinações lineares dessas soluções formam a solução geral da homogênea.)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(x) da EDO completa. Método escolhido: coeficientes a determinar (undetermined coefficients), pois a parte não homogênea é um polinômio. Regra prática: se o lado direito é um polinômio de grau n, tentamos um polinômio também de grau n.
Como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos o ansatz
y_{p}(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a,b,c são constantes a determinar. Observação importante (ressonância): se algum termo do palpite coincidisse com uma solução da homogênea (por exemplo e^{2x} ou e^{-x}), seria preciso multiplicar o palpite por x. Aqui o palpite é polinomial e não coincide com as soluções exponenciais, então não há necessidade de multiplicar por x.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_{p}. Regra usada: derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
y_{p}'(x)=2ax+b,
y_{p}''(x)=2a.
Agora aplicamos o operador L[y]=y''-y'-2y sobre y_{p}:
L[y_{p}]=y_{p}''-y_{p}'-2y_{p}.

Passo 5

Substituindo as expressões:
L[y_{p}]=2a-(2ax+b)-2(ax^{2}+bx+c).
Vamos simplificar termo a termo. Primeiro expandir o último produto:
-2(ax^{2}+bx+c)=-2ax^{2}-2bx-2c.
Somando tudo:
L[y_{p}]=-2ax^{2} + \big(-2a-2b\big)x + \big(2a-b-2c\big).
Explicação: os coeficientes de x^{2}, x e termo constante foram coletados separadamente para poder igualar com o polinômio do lado direito.

Passo 6

Queremos que L[y_{p}] seja igual ao lado direito -2x+4x^{2}. Ou seja,
-2ax^{2} + \big(-2a-2b\big)x + \big(2a-b-2c\big) = 4x^{2} -2x + 0.
Agora igualamos coeficientes de potências iguais de x:
Coeficiente de x^{2}:
-2a=4 \quad\Rightarrow\quad a=-2.
Coeficiente de x:
-2a-2b=-2.
Substituindo a=-2:
-2(-2)-2b=-2 \quad\Rightarrow\quad 4-2b=-2 \quad\Rightarrow\quad -2b=-6 \quad\Rightarrow\quad b=3.
Coeficiente constante:
2a-b-2c=0.
Substituindo a=-2 e b=3:
2(-2)-3-2c=0 \quad\Rightarrow\quad -4-3-2c=0 \quad\Rightarrow\quad -7-2c=0 \quad\Rightarrow\quad c=-\tfrac{7}{2}.

Passo 7

Temos, portanto, a solução particular encontrada:
y_{p}(x)=-2x^{2}+3x-\tfrac{7}{2}.
A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-x}-2x^{2}+3x-\tfrac{7}{2}.
Dica final: se quiser verificar, basta derivar essa expressão duas vezes e substituir em y''-y'-2y; o lado esquerdo resultará em -2x+4x^{2}, confirmando que está correta. Força aí — você já tem um padrão pronto para outros problemas parecidos!

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-x}-2x^{2}+3x-\tfrac{7}{2}

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