Resolva os problemas de valor inicial, referentes a EDOs lineares de primeira ordem.
x \frac{d y}{d x}+2 y=x^{3}, x>0, y(2)=1
x \frac{d y}{d x}+2 y=x^{3}, x>0, y(2)=1
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido:
- Equação diferencial:
. - Domínio indicado:
. - Condição inicial:
.
O que o problema pede: encontrar a função
definida para
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Colocar a EDO na forma linear padrão e identificar os coeficientes que vou usar no método do fator integrante.
Primeiro, divido a equação por
(permitido porque
):
Aqui a equação está na forma padrão
onde
Agora uma rápida aula do método do fator integrante (sem pânico, é simples!):
- A ideia é multiplicar a equação por uma função
— o fator integrante — tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto . - Procuramos
satisfazendo . Isso implica
- Tomando
(qualquer constante multiplicativa pode ser incorporada depois), obtemos a fórmula prática
Passo 3
Calcular o fator integrante
usando
:
Como
,
. Logo
Multiplico a equação padrão por
:
Simplificando os termos:
Passo 4
Reconheço que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
Portanto a equação fica
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Isolando
,
Passo 5
Aplicar a condição inicial
para encontrar
.
Substituindo
na expressão geral:
Isolando
:
logo
Passo 6
Substituo
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Se preferir uma forma única: