Resolva os problemas de valor inicial, referentes a EDOs lineares de primeira ordem.
x \frac{d y}{d x}+2 y=x^{3}, x>0, y(2)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido:
  • Equação diferencial: x\displaystyle\frac{dy}{dx}+2y=x^{3}.
  • Domínio indicado: x>0.
  • Condição inicial: y(2)=1.
O que o problema pede: encontrar a função y(x) definida para x>0 que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Colocar a EDO na forma linear padrão e identificar os coeficientes que vou usar no método do fator integrante.
Primeiro, divido a equação por x (permitido porque x>0):
\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}\,y = x^{2}.
Aqui a equação está na forma padrão
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde
P(x)=\frac{2}{x},\qquad Q(x)=x^{2}.
Agora uma rápida aula do método do fator integrante (sem pânico, é simples!):
  • A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) — o fator integrante — tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
  • Procuramos \mu(x) satisfazendo \mu'(x)=\mu(x)P(x). Isso implica
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=P(x)\quad\Rightarrow\quad \ln\mu(x)=\int P(x)\,dx + C.
  • Tomando C=0 (qualquer constante multiplicativa pode ser incorporada depois), obtemos a fórmula prática
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x) usando P(x)=\dfrac{2}{x}:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp\!\left(2\ln x\right).
Como x>0, \exp(2\ln x)=x^{2}. Logo
\mu(x)=x^{2}.
Multiplico a equação padrão por \mu(x)=x^{2}:
x^{2}\frac{dy}{dx}+x^{2}\cdot\frac{2}{x}\,y = x^{2}\cdot x^{2}.
Simplificando os termos:
x^{2}\frac{dy}{dx}+2x\,y = x^{4}.

Passo 4

Reconheço que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\big(x^{2}y\big), porque
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=2x\,y + x^{2}\frac{dy}{dx}.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x^{4}.
Integro ambos os lados em relação a x:
x^{2}y=\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}+C,
onde C é constante de integração. Isolando y,
y(x)=\frac{x^{5}}{5x^{2}}+\frac{C}{x^{2}}=\frac{x^{3}}{5}+\frac{C}{x^{2}}.

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(2)=1 para encontrar C.
Substituindo x=2 na expressão geral:
1 = y(2)=\frac{2^{3}}{5}+\frac{C}{2^{2}}=\frac{8}{5}+\frac{C}{4}.
Isolando C:
\frac{C}{4}=1-\frac{8}{5}=\frac{5}{5}-\frac{8}{5}=-\frac{3}{5},
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C=4\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{12}{5}.

Passo 6

Substituo C na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{x^{3}}{5}+\frac{1}{x^{2}}\left(-\frac{12}{5}\right)=\frac{x^{3}}{5}-\frac{12}{5x^{2}}.
Se preferir uma forma única:
y(x)=\frac{x^{5}-12}{5x^{2}}.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{x^{3}}{5}-\frac{12}{5x^{2}}

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