Resolva os problemas de valor inicial, referentes a EDOs lineares de primeira ordem.
x \frac{d y}{d x}+2 y=\operatorname{sen} x, x>0, y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{2}{\pi^{2}}

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial. Vou listar claramente o que está sendo pedido e os dados fornecidos.
  • EDO dada: x\frac{dy}{dx}+2y=\operatorname{sen} x com x>0.
  • Condição inicial: y\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{2}{\pi^{2}}.
  • O que é pedido: encontrar a função y(x) definida em x>0 que satisfaça a EDO e a condição inicial.
Informações relevantes que vamos usar: o coeficiente de \dfrac{dy}{dx} é x (portanto é seguro dividir por x pois x>0), e a função do lado direito é \operatorname{sen} x.

Passo 2

Colocar a EDO na forma padrão de primeira ordem (dividindo por x, já que x>0):
\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}\,y=\frac{\sin x}{x}.
Explicação do que isso significa: a forma padrão é
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde aqui P(x)=\dfrac{2}{x} e Q(x)=\dfrac{\sin x}{x}. Para EDOs nessa forma usamos o fator integrante (integrating factor) \mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right). A ideia do fator integrante é transformar o lado esquerdo numa derivada exata do tipo \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big).

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp\!\left(2\ln x\right)=x^{2}.
Observação pedagógica: aqui usei \int \dfrac{2}{x}\,dx=2\ln x; como x>0 não há problema com \ln x. Então multiplico a EDO padrão por \mu(x)=x^{2}:
x^{2}\frac{dy}{dx}+2x\,y=x\sin x.
Verificação de que o lado esquerdo é derivada de \mu y:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x^{2}\frac{dy}{dx}+2x\,y,
logo a equação fica
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x\sin x.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x:
x^{2}y=\int x\sin x\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora precisamos calcular \int x\sin x\,dx. Usamos integração por partes: escolha u=x e dv=\sin x\,dx. Então du=dx e v=-\cos x. A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = uv - \int v\,du. Aplicando:
\int x\sin x\,dx = x\cdot(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
E \int \cos x\,dx=\sin x. Portanto
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + \text{const}.
Colocando na expressão para x^{2}y:
x^{2}y = -x\cos x + \sin x + C.

Passo 5

Isolar y(x) dividindo por x^{2} (novamente seguro porque x>0):
y(x)=\frac{-x\cos x + \sin x + C}{x^{2}}.
Podemos reescrever de forma mais legível:
y(x)=\frac{\sin x - x\cos x + C}{x^{2}}.

Passo 6

Aplicar a condição inicial para determinar C. Substituir x=\dfrac{\pi}{2} e y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{2}{\pi^{2}}.
Calcular seno e cosseno no ponto:
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,\qquad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0.
Substituindo na fórmula de y:
\frac{2}{\pi^{2}} = y\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\frac{1 - \tfrac{\pi}{2}\cdot 0 + C}{\big(\tfrac{\pi}{2}\big)^{2}} = \frac{1 + C}{\tfrac{\pi^{2}}{4}}=\frac{4(1+C)}{\pi^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por \pi^{2} e dividindo por 4:
2 = 4(1+C)\quad\Rightarrow\quad 1+C=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad C=-\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Substituir C=-\tfrac{1}{2} na expressão de y(x):
y(x)=\frac{\sin x - x\cos x - \tfrac{1}{2}}{x^{2}}.
Podemos deixar a resposta nessa forma; ela é válida para x>0, que é o domínio pedido.

Resposta

y(x)=\frac{\sin x - x\cos x - \tfrac{1}{2}}{x^{2}}

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