Resolva os problemas de valor inicial, referentes a EDOs lineares de primeira ordem.
x \frac{d y}{d x}+2 y=\operatorname{sen} x, x>0, y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{2}{\pi^{2}}
x \frac{d y}{d x}+2 y=\operatorname{sen} x, x>0, y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{2}{\pi^{2}}
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial. Vou listar claramente o que está sendo pedido e os dados fornecidos.
- EDO dada:
com . - Condição inicial:
. - O que é pedido: encontrar a função
definida em que satisfaça a EDO e a condição inicial.
Informações relevantes que vamos usar: o coeficiente de
é
(portanto é seguro dividir por
pois
), e a função do lado direito é
.
Passo 2
Colocar a EDO na forma padrão de primeira ordem (dividindo por
, já que
):
Explicação do que isso significa: a forma padrão é
onde aqui
e
. Para EDOs nessa forma usamos o fator integrante (integrating factor)
. A ideia do fator integrante é transformar o lado esquerdo numa derivada exata do tipo
.
Passo 3
Calcular o fator integrante
:
Observação pedagógica: aqui usei
; como
não há problema com
. Então multiplico a EDO padrão por
:
Verificação de que o lado esquerdo é derivada de
:
logo a equação fica
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora precisamos calcular
. Usamos integração por partes: escolha
e
. Então
e
. A fórmula de integração por partes é
. Aplicando:
E
. Portanto
Colocando na expressão para
:
Passo 5
Isolar
dividindo por
(novamente seguro porque
):
Podemos reescrever de forma mais legível:
Passo 6
Aplicar a condição inicial para determinar
. Substituir
e
.
Calcular seno e cosseno no ponto:
Calcular seno e cosseno no ponto:
Substituindo na fórmula de
:
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Passo 7
Substituir
na expressão de
:
Podemos deixar a resposta nessa forma; ela é válida para
, que é o domínio pedido.