( \mathbf{1 , 0} ponto) Simplifique as seguintes expressões:
(c) \left(-\frac{3 \sqrt{x}}{2 x^{3}}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede que se simplifique a expressão
\left(-\frac{3 \sqrt{x}}{2 x^{3}}\right)^{2}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é uma potência (expoente 2) de uma fração.
  • Aparece \sqrt{x}, ou seja, existe a raiz quadrada de x (isso implica que, no contexto real, x\ge 0).
  • O denominador contém x^{3}, o que impede x=0 (pois dividir por zero não é permitido).
  • Portanto, a expressão só faz sentido real para x>0.
    Não resolvo nada neste passo; só organizei o que o problema dá.

Passo 2

Relembrando regras que vou usar (rápido e direto):
  • Potência de uma fração: \displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}. Aqui a e b são quaisquer expressões e n é um inteiro positivo.
  • Potência de um produto: \displaystyle(ab)^{n}=a^{n}b^{n}.
  • Potência de potência: \displaystyle\left(x^{m}\right)^{n}=x^{m n}.
  • Sinal negativo ao quadrado: (-c)^{2}=c^{2} (o resultado é positivo).
  • Relação entre raiz e potência: \sqrt{x}=x^{1/2}.
Essas fórmulas são básicas de expoentes; vou aplicá‑las passo a passo.

Passo 3

Primeiro escrevo \sqrt{x} como potência:
\sqrt{x}=x^{\tfrac{1}{2}},
logo a expressão fica
\left(-\frac{3 x^{\tfrac{1}{2}}}{2 x^{3}}\right)^{2}.

Passo 4

Aplico a regra da potência da fração: elevando numerador e denominador ao quadrado,
\left(-\frac{3 x^{\tfrac{1}{2}}}{2 x^{3}}\right)^{2} = \frac{\left(-3 x^{\tfrac{1}{2}}\right)^{2}}{\left(2 x^{3}\right)^{2}}.

Passo 5

Calculo o numerador separado:
  • (-3)^{2}=9.
  • Pela regra da potência de potência, \left(x^{\tfrac{1}{2}}\right)^{2}=x^{\tfrac{1}{2}\cdot 2}=x^{1}=x.
    Portanto o numerador é 9x. Em fórmula:
\left(-3 x^{\tfrac{1}{2}}\right)^{2}=9x.

Passo 6

Calculo o denominador separado:
  • 2^{2}=4.
  • \left(x^{3}\right)^{2}=x^{3\cdot 2}=x^{6}.
    Portanto o denominador é 4x^{6}. Em fórmula:
\left(2 x^{3}\right)^{2}=4x^{6}.

Passo 7

Agora juntando numerador e denominador:
\frac{9x}{4x^{6}}.
Para simplificar, uso a regra de divisão de potências com mesma base: x^{a}/x^{b}=x^{a-b} (válido para x\neq 0). Aqui a=1 e b=6, então
\frac{9x}{4x^{6}}=\frac{9}{4}x^{1-6}=\frac{9}{4}x^{-5}.
Como preferimos expoente positivo no denominador:
\frac{9}{4}x^{-5}=\frac{9}{4x^{5}}.

Passo 8

Lembrete sobre domínio (para a hora da prova): a expressão simplificada \dfrac{9}{4x^{5}} representa a mesma expressão original somente para x>0 (raiz definida e denominador não nulo).

Resposta

\displaystyle \frac{9}{4x^{5}}

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