( \mathbf{1 , 0} ponto) Simplifique as seguintes expressões:
(d) x^{-\frac{2}{3}}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+y \cdot x^{\frac{5}{3}}\right)-\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
x^{-\frac{2}{3}}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+y \cdot x^{\frac{5}{3}}\right)-\frac{1}{x}.
Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • A expressão envolve potências fracionárias e expoentes negativos.
  • Há uma raiz cúbica \sqrt[3]{x} e termos com x em denominador, portanto é necessário assumir x\neq 0 para que tudo faça sentido.

Passo 2

Primeira ideia prática: reescrever a raiz cúbica em termos de potência fracionária para trabalhar só com expoentes. Lembrete útil (regra):
\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}.
Então
\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-\frac{1}{3}}.

Passo 3

Substituindo essa igualdade dentro da expressão, obtemos
x^{-\frac{2}{3}}\left(x^{-\frac{1}{3}}+y\cdot x^{\frac{5}{3}}\right)-\frac{1}{x}.

Passo 4

Agora vamos distribuir x^{-\frac{2}{3}} pelos dois termos do parêntese. Para isso usamos a lei dos expoentes para produtos:
x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b},
onde a e b são quaisquer números reais. Aplicando ao primeiro produto:
x^{-\frac{2}{3}}\cdot x^{-\frac{1}{3}} = x^{-\frac{2}{3} + \left(-\frac{1}{3}\right)} = x^{-1}.

Passo 5

Aplicando a mesma regra ao segundo produto (lembrando que y é apenas um fator multiplicativo):
x^{-\frac{2}{3}}\cdot \bigl(y\cdot x^{\frac{5}{3}}\bigr) = y\cdot x^{-\frac{2}{3} + \frac{5}{3}} = y\cdot x^{\frac{3}{3}} = y\cdot x^{1} = yx.

Passo 6

Substituindo os resultados das multiplicações na expressão original obtemos
x^{-1} + yx - \frac{1}{x}.
Note que x^{-1}=\dfrac{1}{x}, então os dois termos \dfrac{1}{x} se cancelam:
\frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 0.

Passo 7

Depois do cancelamento sobra apenas
yx.
Também é bom lembrar a condição de existência: a simplificação vale para x\neq 0.

Resposta

yx

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