( \mathbf{1 , 0} ponto) Efetue as seguintes operações com frações e simplifique, se puder:
(a) \frac{1}{3}+\frac{3}{5}-\frac{5}{7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular e simplificar a expressão de frações
\frac{1}{3}+\frac{3}{5}-\frac{5}{7}.
Informações dadas:
  • Temos três frações com denominadores \;3,\;5 e \;7.
  • O objetivo é efetuar a soma e subtração e, ao final, simplificar a fração resultante, se possível.

Passo 2

Estratégia (de forma prática): para somar e subtrair frações com denominadores diferentes, primeiro colocamos todas as frações sobre um mesmo denominador comum. O denominador mais simples de usar é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores. Depois convertimos cada fração para esse denominador e somamos os numeradores.

Passo 3

Calcular o MMC (ou LCM) dos denominadores \;3,\;5,\;7.
Explicando como achar o MMC de forma simples: fatoramos cada denominador em primos. Aqui
3=3,\qquad 5=5,\qquad 7=7,
todos já são primos e são distintos, então o MMC é o produto deles:
\text{MMC}(3,5,7)=3\cdot5\cdot7=105.
Portanto vamos trabalhar com denominador comum \;105.

Passo 4

Converter cada fração para o denominador \;105. A regra é: multiplicar numerador e denominador pelo mesmo número que transforma o denominador original em 105.
Para \displaystyle \frac{1}{3}: multiplicar cima e baixo por 35 porque 3\cdot35=105.
\frac{1}{3}=\frac{1\cdot35}{3\cdot35}=\frac{35}{105}.
Para \displaystyle \frac{3}{5}: multiplicar cima e baixo por 21 porque 5\cdot21=105.
\frac{3}{5}=\frac{3\cdot21}{5\cdot21}=\frac{63}{105}.
Para \displaystyle \frac{5}{7}: multiplicar cima e baixo por 15 porque 7\cdot15=105.
\frac{5}{7}=\frac{5\cdot15}{7\cdot15}=\frac{75}{105}.

Passo 5

Agora que todas estão com o mesmo denominador, somamos e subtraímos apenas os numeradores:
\frac{35}{105}+\frac{63}{105}-\frac{75}{105}=\frac{35+63-75}{105}.

Passo 6

Calcular o numerador:
35+63=98,\qquad 98-75=23,
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\frac{35+63-75}{105}=\frac{23}{105}.

Passo 7

Verificar se \displaystyle \frac{23}{105} pode ser simplificada. Para isso checamos se o numerador 23 e o denominador 105 têm algum fator primo em comum.
Fatores de 105: 105=3\cdot5\cdot7.
O número 23 é primo (só divisível por 1 e por 23) e não é igual a 3,5 nem 7. Portanto \gcd(23,105)=1 e a fração já está na forma irredutível.

Resposta

\frac{23}{105}

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