( \mathbf{1 , 0} ponto) Simplifique as seguintes expressões:
(a) (x+1)(3-x+y)-y\left(-4+\frac{3}{y}+x+2 y\right)

Passo 1

O enunciado pede: simplificar a expressão indicada. A expressão dada é:
(x+1)(3-x+y)-y\left(-4+\frac{3}{y}+x+2 y\right).
Informações relevantes que temos (tal como aparecem no enunciado):
  • Há um produto entre soma e diferença (x+1)(3-x+y).
  • Há um produto de y por uma soma que contém um termo \dfrac{3}{y}.
  • O objetivo é obter uma forma mais simples, juntando termos semelhantes.

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro: propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. Ela diz que, para quaisquer expressões a,b,c,
a(b+c)=ab+ac.
Aplicando a distributiva para expandir o primeiro produto (x+1)(3-x+y): multiplicar cada termo do segundo parênteses por x e por 1 e somar os resultados.

Passo 3

Expandindo (x+1)(3-x+y) termo a termo:
(x+1)\cdot 3 = 3x+3,
(x+1)\cdot(-x) = -x^2 - x,
(x+1)\cdot y = xy + y.
Somando esses resultados obtemos
(x+1)(3-x+y) = -x^2 + xy + (3x - x) + (3 + y).
Agrupando 3x-x=2x e escrevendo de forma limpa:
(x+1)(3-x+y) = -x^2 + xy + 2x + y + 3.

Passo 4

Agora expandimos a segunda parte -y\left(-4+\dfrac{3}{y}+x+2y\right). Primeiro observe o produto y\cdot\dfrac{3}{y}: como y\neq 0 (ou considerando a simplificação algébrica), temos y\cdot\dfrac{3}{y}=3 porque o y se cancela.
Aplicando a distributiva para y multiplicando cada termo dentro dos parênteses:
y\cdot(-4) = -4y,
y\cdot\frac{3}{y} = 3,
y\cdot x = xy,
y\cdot 2y = 2y^2.
Portanto
y\left(-4+\frac{3}{y}+x+2y\right) = -4y + 3 + xy + 2y^2.
Agora lembre que existe um sinal negativo na frente desse produto no enunciado, então
-\,y\left(-4+\frac{3}{y}+x+2y\right) = -\bigl(-4y + 3 + xy + 2y^2\bigr).
Aplicando o sinal negativo a cada termo:
-\,y\left(-4+\frac{3}{y}+x+2y\right) = 4y - 3 - xy - 2y^2.

Passo 5

Somamos as duas porções já expandidas:
\bigl(-x^2 + xy + 2x + y + 3\bigr) + \bigl(4y - 3 - xy - 2y^2\bigr).
Agora vamos combinar termos semelhantes (mesmos monômios em x e y):
  • Termos em x^2: há apenas -x^2.
  • Termos em y^2: há apenas -2y^2.
  • Termos em xy: +xy e -xy se cancelam, dando 0.
  • Termos em x: +2x.
  • Termos em y: +y e +4y somam 5y.
  • Termos constantes: +3 e -3 se cancelam.
Fazendo a soma final dos termos que restaram:
- x^2 + 2x - 2y^2 + 5y.

Passo 6

Verificação rápida (sanity check): conferindo cancelamentos chave — os xy e os constantes 3 se anularam; o termo com \dfrac{3}{y} foi convertido em 3 ao multiplicar por y e depois mudou de sinal por causa do menos externo. A expressão resultante está em forma polinomial reduzida, sem frações.

Resposta

-x^{2} + 2x - 2y^{2} + 5y

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