Questão 5 -Considere uma partícula de massa m movendo-se no plano x y sob a ação de um campo gravitacional uniforme de módulo g, dirigindo-se no sentido negativo do eixo y. Use coordenadas cartesianas (x, y). Dado: adote V(x, y)=m g y com o eixo y apontando para cima
a) Escreva a Lagrangiana L=T-V do sistema.
b) A partir das equações de Lagrange, obtenha as equações de movimento para x(t) e y(\mathrm{t}).
c) Mostre que o momento conjugado p_{x} é constante no tempo.
d) Verifique a conservação da energia mecânica E=T+V. Ou seja, derive a energia em relação ao tempo e mostre que é zero.

Passo 1

Você tem uma partícula de massa m que se move no plano xy. O campo gravitacional é uniforme, de intensidade g, apontando para baixo (sentido negativo do eixo y). O enunciado já dá a energia potencial como \,V(x,y)=m g y, com o eixo y apontando para cima.
O que a questão pede:
(a) escrever a Lagrangiana L=T-V do sistema;
(b) obter as equações de movimento para x(t) e y(t) a partir das equações de Lagrange;
(c) mostrar que o momento conjugado p_x é constante no tempo;
(d) verificar a conservação da energia mecânica E=T+V, isto é, calcular \frac{dE}{dt} e mostrar que é zero.
Informações relevantes dadas: massa m, aceleração da gravidade g, potencial V(x,y)=m g y, coordenadas cartesianas (x,y). Não há forças dependentes de tempo nem restrições.

Passo 2

Primeiro precisamos montar as energias: cinética e potencial. A energia cinética de uma partícula de massa m que se move no plano com velocidades \dot x e \dot y é a soma das energias associadas às componentes da velocidade. A velocidade escalar ao quadrado é \dot{\mathbf{r}}^{2}=\dot x^{2}+\dot y^{2}. Portanto a energia cinética é
T=\frac{1}{2}m\big(\dot x^{2}+\dot y^{2}\big).
A energia potencial foi dada: \,V(x,y)=m g y. A Lagrangiana é definida como L=T-V. Como a regra pede que eu explique cada símbolo: m é a massa, \dot x=\frac{dx}{dt}, \dot y=\frac{dy}{dt} e g é a constante gravitacional. Assim, a Lagrangiana é
L=\frac{1}{2}m\big(\dot x^{2}+\dot y^{2}\big)-m g y.

Passo 3

Agora vamos usar as equações de Lagrange. Vou primeiro escrever a fórmula geral e explicar: para cada coordenada generalizada q_i (aqui q_1=x e q_2=y) a equação de Lagrange é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0.
Isto significa: calcule a derivada parcial de L em relação à velocidade correspondente, derivar essa expressão no tempo, subtrair a derivada parcial de L em relação à coordenada, e igualar a zero. Essa é a receita passo a passo que se aplica a x e y.
Para a coordenada x:
calcule \frac{\partial L}{\partial \dot x}. Da expressão de L do passo anterior vemos que
\frac{\partial L}{\partial \dot x}=m\dot x.
Derivando no tempo:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right)=\frac{d}{dt}(m\dot x)=m\ddot x.
Agora \frac{\partial L}{\partial x}: a Lagrangiana não depende explicitamente de x (o potencial depende só de y), então
\frac{\partial L}{\partial x}=0.
Aplicando a equação de Lagrange:
m\ddot x - 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad m\ddot x=0.
Logo a equação de movimento para x(t) é
\ddot x=0.

Passo 4

Agora para a coordenada y: primeiro calcule \frac{\partial L}{\partial \dot y}:
\frac{\partial L}{\partial \dot y}=m\dot y.
Derivando no tempo:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot y}\right)=m\ddot y.
Calcule \frac{\partial L}{\partial y}. Como L=T-V e T não depende de y, apenas V depende de y. Logo
\frac{\partial L}{\partial y}=-\frac{\partial V}{\partial y}=-\frac{\partial (m g y)}{\partial y}=-m g.
Aplicando a equação de Lagrange:
m\ddot y - (-m g)=0 \quad\Rightarrow\quad m\ddot y + m g=0.
Dividindo por m obtemos a equação clássica do movimento vertical sob gravidade:
\ddot y=-g.

Passo 5

Agora mostramos que o momento conjugado p_x é constante. Definição: o momento conjugado à coordenada x é
p_x=\frac{\partial L}{\partial \dot x}.
Já calculamos isso no passo 3 e obtivemos p_x=m\dot x. Para ver se é constante no tempo, derivamos em relação ao tempo:
\frac{dp_x}{dt}=\frac{d}{dt}(m\dot x)=m\ddot x.
Pela equação de movimento para x (passo 3) temos \ddot x=0, logo \frac{dp_x}{dt}=0. Portanto p_x é constante no tempo. Intuitivamente: não há força na direção x, então o momento nessa direção é conservado.

Passo 6

Finalmente verificamos a conservação da energia mecânica. A energia mecânica é definida aqui como a soma da energia cinética com a potencial:
E=T+V=\frac{1}{2}m\big(\dot x^{2}+\dot y^{2}\big)+m g y.
Vamos derivar E em relação ao tempo e mostrar que é zero. Calcule termo a termo, lembrando que \frac{d}{dt}(\dot x^{2})=2\dot x\ddot x, etc.:
\frac{dE}{dt}=m\dot x\ddot x + m\dot y\ddot y + m g\dot y.
Agrupando os termos envolvendo \dot y:
\frac{dE}{dt}=m\dot x\ddot x + m\dot y\big(\ddot y + g\big).
Agora aplicamos as equações de movimento: \ddot x=0 e \ddot y=-g. Substituindo,
m\dot x\ddot x = m\dot x\cdot 0 = 0,
e
\ddot y + g = -g + g = 0 \quad\Rightarrow\quad m\dot y(\ddot y+g)=0.
Portanto \frac{dE}{dt}=0+0=0. Isso mostra que a energia mecânica E=T+V é conservada ao longo do movimento. (Comentário rápido: outra forma elegante é usar que a Lagrangiana não depende explicitamente do tempo, o que implica conservação da energia-hamiltoniana; mas aqui fiz a verificação direta pedida.)

Resposta

(a) L=\dfrac{1}{2}m\big(\dot x^{2}+\dot y^{2}\big)-m g y
(b) \ddot x=0,\quad \ddot y=-g
(c) p_x=\dfrac{\partial L}{\partial \dot x}=m\dot x, e \dfrac{dp_x}{dt}=0 (portanto p_x é constante)
(d) \dfrac{d}{dt}(T+V)=0 (a energia mecânica é conservada)

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