Questão 5 -Considere uma partícula de massa
movendo-se no plano
sob a ação de um campo gravitacional uniforme de módulo
, dirigindo-se no sentido negativo do eixo
. Use coordenadas cartesianas
. Dado: adote
com o eixo
apontando para cima
a) Escreva a Lagrangiana
do sistema.
b) A partir das equações de Lagrange, obtenha as equações de movimento para
e
.
c) Mostre que o momento conjugado
é constante no tempo.
d) Verifique a conservação da energia mecânica
. Ou seja, derive a energia em relação ao tempo e mostre que é zero.
a) Escreva a Lagrangiana
b) A partir das equações de Lagrange, obtenha as equações de movimento para
c) Mostre que o momento conjugado
d) Verifique a conservação da energia mecânica
Passo 1
Você tem uma partícula de massa
que se move no plano
. O campo gravitacional é uniforme, de intensidade
, apontando para baixo (sentido negativo do eixo
). O enunciado já dá a energia potencial como
, com o eixo
apontando para cima.
O que a questão pede:
(a) escrever a Lagrangiana do sistema;
(b) obter as equações de movimento para e
a partir das equações de Lagrange;
(c) mostrar que o momento conjugado é constante no tempo;
(d) verificar a conservação da energia mecânica , isto é, calcular
e mostrar que é zero.
O que a questão pede:
(a) escrever a Lagrangiana
(b) obter as equações de movimento para
(c) mostrar que o momento conjugado
(d) verificar a conservação da energia mecânica
Informações relevantes dadas: massa
, aceleração da gravidade
, potencial
, coordenadas cartesianas
. Não há forças dependentes de tempo nem restrições.
Passo 2
Primeiro precisamos montar as energias: cinética e potencial. A energia cinética de uma partícula de massa
que se move no plano com velocidades
e
é a soma das energias associadas às componentes da velocidade. A velocidade escalar ao quadrado é
. Portanto a energia cinética é
A energia potencial foi dada:
. A Lagrangiana é definida como
. Como a regra pede que eu explique cada símbolo:
é a massa,
,
e
é a constante gravitacional. Assim, a Lagrangiana é
Passo 3
Agora vamos usar as equações de Lagrange. Vou primeiro escrever a fórmula geral e explicar: para cada coordenada generalizada
(aqui
e
) a equação de Lagrange é
Isto significa: calcule a derivada parcial de
em relação à velocidade correspondente, derivar essa expressão no tempo, subtrair a derivada parcial de
em relação à coordenada, e igualar a zero. Essa é a receita passo a passo que se aplica a
e
.
Para a coordenada
:
calcule . Da expressão de
do passo anterior vemos que
calcule
Derivando no tempo:
Agora
: a Lagrangiana não depende explicitamente de
(o potencial depende só de
), então
Aplicando a equação de Lagrange:
Logo a equação de movimento para
é
Passo 4
Agora para a coordenada
: primeiro calcule
:
Derivando no tempo:
Calcule
. Como
e
não depende de
, apenas
depende de
. Logo
Aplicando a equação de Lagrange:
Dividindo por
obtemos a equação clássica do movimento vertical sob gravidade:
Passo 5
Agora mostramos que o momento conjugado
é constante. Definição: o momento conjugado à coordenada
é
Já calculamos isso no passo 3 e obtivemos
. Para ver se é constante no tempo, derivamos em relação ao tempo:
Pela equação de movimento para
(passo 3) temos
, logo
. Portanto
é constante no tempo. Intuitivamente: não há força na direção
, então o momento nessa direção é conservado.
Passo 6
Finalmente verificamos a conservação da energia mecânica. A energia mecânica é definida aqui como a soma da energia cinética com a potencial:
Vamos derivar
em relação ao tempo e mostrar que é zero. Calcule termo a termo, lembrando que
, etc.:
Agrupando os termos envolvendo
:
Agora aplicamos as equações de movimento:
e
. Substituindo,
e
Portanto
. Isso mostra que a energia mecânica
é conservada ao longo do movimento. (Comentário rápido: outra forma elegante é usar que a Lagrangiana não depende explicitamente do tempo, o que implica conservação da energia-hamiltoniana; mas aqui fiz a verificação direta pedida.)
Resposta
(a)
(b)
(c) , e
(portanto
é constante)
(d) (a energia mecânica é conservada)
(b)
(c)
(d)