( \mathbf{2 , 0} pontos) Em cerca de quanto a função
h(x, y, z)=x+x \cos (z)-y \sin (z)+y
irá variar se o ponto P(x, y, z) se mover do ponto P_{0}(2,-1,0) uma distância d s=0,2 unidades na direção do ponto P_{1}(0,1,2) ?

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x,y,z)=x+x\cos(z)-y\sin(z)+y
os pontos
P_0=(2,-1,0),\qquad P_1=(0,1,2),
e a distância do deslocamento
ds=0,2.
A pergunta é: em cerca de quanto (aproximadamente) a função h vai variar se o ponto P partir de P_0 e se deslocar uma distância ds na direção de P_1.

Passo 2

Ideia e fórmula que vou usar (explicação didática).
  • Para pequenas deslocamentos, a variação aproximada de uma função de várias variáveis é dada pelo diferencial total. Se o deslocamento for o vetor \mathbf{v}, então a variação aproximada é
\Delta h\approx \nabla h(P_0)\cdot \mathbf{v}.
  • Aqui \nabla h(P_0) é o gradiente de h avaliado em P_0. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla h=(\partial_x h,\\ \partial_y h,\\ \partial_z h).
Cada componente indica a taxa de variação de h quando só a coordenada correspondente muda.
  • Se o deslocamento tem magnitude ds e direção dada pelo vetor unitário \mathbf{u}, então \mathbf{v}=ds\;\mathbf{u} e
\Delta h\approx ds\;(\nabla h(P_0)\cdot \mathbf{u}).
  • O produto escalar \nabla h\cdot\mathbf{u} é a derivada direcional de h na direção \mathbf{u}: quanto h muda por unidade de comprimento nessa direção.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de h.
Escrevendo h de forma mais clara:
h(x,y,z)=x\bigl(1+\cos z\bigr)+y\bigl(1-\sin z\bigr).
As derivadas parciais são:
\partial_x h=1+\cos z,
\partial_y h=1-\sin z,
\partial_z h=-x\sin z - y\cos z.
(Explicação rápida: \partial_x trata y,z como constantes, daí vem 1+\cos z; \partial_z aplica regra da cadeia às partes que dependem de z.)

Passo 4

Avaliar o gradiente em P_0=(2,-1,0). Como \cos 0=1 e \sin 0=0, obtemos:
\partial_x h(P_0)=1+\cos 0=1+1=2,
\partial_y h(P_0)=1-\sin 0=1-0=1,
\partial_z h(P_0)=-2\sin 0 -(-1)\cos 0=0+1=1.
Portanto
\nabla h(P_0)=(2,\,1,\,1).

Passo 5

Encontrar a direção do deslocamento: o vetor de P_0 para P_1 é
\mathbf{w}=P_1-P_0=(0-2,\;1-(-1),\;2-0)=(-2,\,2,\,2).
O comprimento de \mathbf{w} é
\|\mathbf{w}\|=\sqrt{(-2)^2+2^2+2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
O vetor unitário na direção de P_1 é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|}=\frac{(-2,2,2)}{2\sqrt{3}}=\frac{(-1,1,1)}{\sqrt{3}}.

Passo 6

Calcular a derivada direcional \nabla h(P_0)\cdot\mathbf{u}:
\nabla h(P_0)\cdot\mathbf{u}=(2,1,1)\cdot\frac{(-1,1,1)}{\sqrt{3}} =\frac{2\cdot(-1)+1\cdot1+1\cdot1}{\sqrt{3}} =\frac{-2+1+1}{\sqrt{3}} =\frac{0}{\sqrt{3}}=0.
Interpretação: a direção de deslocamento é ortogonal ao gradiente em P_0, logo, ao primeiro ordem, não há variação de h nessa direção.

Passo 7

Usar ds=0,2 para obter a variação aproximada:
\Delta h\approx ds\;(\nabla h(P_0)\cdot\mathbf{u})=0,2\times 0=0.
Comentário final (didático e encorajador): o resultado significa que, para um deslocamento pequeno de magnitude 0,2 na direção indicada, a mudança de h é de ordem superior (segundo ordem ou mais), mas a contribuição linear (o que normalmente se pede em aproximações) é nula. Bom trabalho — essa é uma situação clássica: mover-se tangencialmente a uma superfície de nível não altera h no primeiro aproximação.

Resposta

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