(
pontos) Em cerca de quanto a função
irá variar se o ponto
se mover do ponto
uma distância
unidades na direção do ponto
?
Passo 1
O enunciado dá a função
os pontos
e a distância do deslocamento
A pergunta é: em cerca de quanto (aproximadamente) a função
vai variar se o ponto
partir de
e se deslocar uma distância
na direção de
.
Passo 2
Ideia e fórmula que vou usar (explicação didática).
- Para pequenas deslocamentos, a variação aproximada de uma função de várias variáveis é dada pelo diferencial total. Se o deslocamento for o vetor
, então a variação aproximada é
- Aqui
é o gradiente de avaliado em . O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Cada componente indica a taxa de variação de
quando só a coordenada correspondente muda.
- Se o deslocamento tem magnitude
e direção dada pelo vetor unitário , então e
- O produto escalar
é a derivada direcional de na direção : quanto muda por unidade de comprimento nessa direção.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Escrevendo de forma mais clara:
Escrevendo
As derivadas parciais são:
(Explicação rápida:
trata
como constantes, daí vem
;
aplica regra da cadeia às partes que dependem de
.)
Passo 4
Avaliar o gradiente em
. Como
e
, obtemos:
Portanto
Passo 5
Encontrar a direção do deslocamento: o vetor de
para
é
O comprimento de
é
O vetor unitário na direção de
é
Passo 6
Calcular a derivada direcional
:
Interpretação: a direção de deslocamento é ortogonal ao gradiente em
, logo, ao primeiro ordem, não há variação de
nessa direção.
Passo 7
Usar
para obter a variação aproximada:
Comentário final (didático e encorajador): o resultado significa que, para um deslocamento pequeno de magnitude
na direção indicada, a mudança de
é de ordem superior (segundo ordem ou mais), mas a contribuição linear (o que normalmente se pede em aproximações) é nula. Bom trabalho — essa é uma situação clássica: mover-se tangencialmente a uma superfície de nível não altera
no primeiro aproximação.
Resposta
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