( \mathbf{2 , 0} pontos) Encontre todos os pontos de máximos, mínimos e de sela da função:
f(x, y)=x^{3}-y^{3}-2 x y+6

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que a questão pede):
  • A função é f(x,y)=x^{3}-y^{3}-2xy+6.
  • O enunciado pede: encontrar todos os pontos de máximos, mínimos e de sela (isto é, classificar todos os pontos críticos da função).

Passo 2

Encontrar os pontos críticos: lembrar que pontos críticos são os pontos onde o gradiente é o vetor zero, ou seja onde as derivadas parciais se anulam. As derivadas parciais são obtidas derivando em relação a uma variável mantendo a outra fixa.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=f_x= \text{derivada de }x^3 \text{ é }3x^2,\; \text{de }-y^3 \text{ é }0,\; \text{de }-2xy \text{ em relação a }x \text{ é }-2y.ééçãé
Portanto
f_x=3x^2-2y.
\frac{\partial f}{\partial y}=f_y= \text{derivada de }-y^3 \text{ é }-3y^2,\; \text{de }x^3 \text{ é }0,\; \text{de }-2xy \text{ em relação a }y \text{ é }-2x.ééçãé
Portanto
f_y=-3y^2-2x.
Os pontos críticos satisfazem o sistema
\begin{cases} 3x^2-2y=0,\\[4pt] -3y^2-2x=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema de equações para achar os pontos críticos.
Da primeira equação isolamos y:
3x^2-2y=0\quad\Rightarrow\quad y=\frac{3}{2}x^2.
Substituímos na segunda equação:
-3\left(\frac{3}{2}x^2\right)^2-2x=0.
Calcule passo a passo:
\left(\frac{3}{2}x^2\right)^2=\frac{9}{4}x^4,
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-3\cdot\frac{9}{4}x^4-2x=0 \quad\Rightarrow\quad -\frac{27}{4}x^4-2x=0.
Multiplicando por -1:
\frac{27}{4}x^4+2x=0.
Colocando em evidência x:
x\left(\frac{27}{4}x^3+2\right)=0.
Portanto as soluções são
x=0\quad\text{ou}\quad \frac{27}{4}x^3+2=0.
Da segunda equação,
\frac{27}{4}x^3=-2 \quad\Rightarrow\quad x^3=-\frac{8}{27}\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{2}{3}.
Agora encontramos y correspondente usando y=\dfrac{3}{2}x^2:
  • Para x=0: y=\dfrac{3}{2}\cdot0^2=0. Ponto crítico (0,0).
  • Para x=-\dfrac{2}{3}: x^2=\dfrac{4}{9} então
y=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{9}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}.
Ponto crítico \left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right).
Portanto há exatamente dois pontos críticos: (0,0) e \left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right).

Passo 4

Classificar os pontos críticos usando as segundas derivadas (matriz Hessiana) e o teste das derivadas segundas.
Calcule as segundas derivadas:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_x)=\frac{\partial}{\partial x}(3x^2-2y)=6x,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_y)=\frac{\partial}{\partial y}(-3y^2-2x)=-6y,
f_{xy}=f_{yx}=\frac{\partial}{\partial y}(f_x)=\frac{\partial}{\partial y}(3x^2-2y)=-2.
Definir o discriminante Hessiano
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^2 = (6x)(-6y)-(-2)^2 = -36xy-4.
Regra do teste das derivadas segundas (para pontos críticos isolados):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então ponto é mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então ponto é máximo local.
  • Se D<0 então ponto é de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Avaliar em cada ponto crítico.
No ponto (0,0):
D(0,0)=-36\cdot0\cdot0-4=-4<0.
Como D<0, concluímos que (0,0) é um ponto de sela.
No ponto \left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right):
primeiro calcule xy:
x\cdot y = \left(-\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)=-\frac{4}{9}.
Então
D\!\left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)=-36\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)-4=16-4=12>0.
E
f_{xx}\!\left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)=6x=6\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-4<0.
Como D>0 e f_{xx}<0, o ponto \left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right) é um máximo local.

Passo 5

Calcular os valores da função nesses pontos (útil para responder completamente):
No ponto (0,0):
f(0,0)=0^3-0^3-2\cdot0\cdot0+6=6.
No ponto \left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right):
calcule cada termo:
x^3=\left(-\frac{2}{3}\right)^3=-\frac{8}{27},\qquad y^3=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27},
-2xy=-2\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)=-2\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)=\frac{8}{9}=\frac{24}{27}.
Somando:
f\!\left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)=-\frac{8}{27}-\frac{8}{27}+\frac{24}{27}+6=\frac{8}{27}+6=\frac{170}{27}.
Observação final: não há mínimos locais além dos pontos encontrados (e, de fato, a função cúbica em variáveis tende a \pm\infty em direções apropriadas, logo não há mínimo global nem máximo global finito).

Resposta

Ponto de sela: (0,0).
Máximo local: \left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right) com valor f\!\left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{170}{27}.
Não há mínimos locais.

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