(
pontos) Encontre todos os pontos de máximos, mínimos e de sela da função:
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que a questão pede):
- A função é
. - O enunciado pede: encontrar todos os pontos de máximos, mínimos e de sela (isto é, classificar todos os pontos críticos da função).
Passo 2
Encontrar os pontos críticos: lembrar que pontos críticos são os pontos onde o gradiente é o vetor zero, ou seja onde as derivadas parciais se anulam. As derivadas parciais são obtidas derivando em relação a uma variável mantendo a outra fixa.
Calcule as derivadas parciais:
Portanto
Portanto
Os pontos críticos satisfazem o sistema
Passo 3
Resolver o sistema de equações para achar os pontos críticos.
Da primeira equação isolamos
:
Substituímos na segunda equação:
Calcule passo a passo:
logo
Multiplicando por
:
Colocando em evidência
:
Portanto as soluções são
Da segunda equação,
Agora encontramos
correspondente usando
:
- Para
: . Ponto crítico . - Para
: então
Ponto crítico
.
Portanto há exatamente dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Classificar os pontos críticos usando as segundas derivadas (matriz Hessiana) e o teste das derivadas segundas.
Calcule as segundas derivadas:
Definir o discriminante Hessiano
Regra do teste das derivadas segundas (para pontos críticos isolados):
- Se
e então ponto é mínimo local. - Se
e então ponto é máximo local. - Se
então ponto é de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Avaliar em cada ponto crítico.
No ponto
:
Como
, concluímos que
é um ponto de sela.
No ponto
:
primeiro calcule :
primeiro calcule
Então
E
Como
e
, o ponto
é um máximo local.
Passo 5
Calcular os valores da função nesses pontos (útil para responder completamente):
No ponto
:
No ponto
:
calcule cada termo:
calcule cada termo:
Somando:
Observação final: não há mínimos locais além dos pontos encontrados (e, de fato, a função cúbica em variáveis tende a
em direções apropriadas, logo não há mínimo global nem máximo global finito).
Resposta
Ponto de sela:
.
Máximo local:
com valor
.
Não há mínimos locais.