(8 pontos) Uma fábrica produz dois tipos de produtos, A e B. A quantidade de produtos A produzidos em um dia é representada pela variável aleatória X, enquanto a quantidade de produtos B pela variável aleatória Y. Sabe-se que:
E(X)=100, \quad V(X)=25, \quad E(Y)=150, \quad V(Y)=36, \quad \operatorname{COV}(X, Y)=15
Considere também as variáveis aleatórias R, C e L tais que:
  • A receita obtida pela fábrica em um dia é dada por R=3 X+2 Y;
  • O custo diário de produção é dado por C=2 X+1.5 Y;
  • O lucro diário L é dado por L=R-C.
Pede-se, calcule:
a. (2 pt ) A esperança matemática do lucro diário, E(L).
b. ( \mathbf{3} pt) A variância do lucro diário, V(L).
c. (3 pt) A covariância entre R e $C, C O V(R, C).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
E(X)=100,\quad V(X)=25,\quad E(Y)=150,\quad V(Y)=36,\quad \operatorname{COV}(X,Y)=15.
Também define as variáveis:
R=3X+2Y,\qquad C=2X+1{,}5Y,\qquad L=R-C.
As perguntas são:
a) Calcular E(L).
b) Calcular V(L).
c) Calcular \operatorname{COV}(R,C).

Passo 2

Primeiro vamos entender a esperança (valor esperado) e uma propriedade essencial: a esperança é linear. Isso significa que, para constantes a,b e variáveis aleatórias X,Y,
E(aX+bY)=a\,E(X)+b\,E(Y).
Aqui E(\cdot) dá o valor médio esperado da variável. Essa propriedade é direta da definição de esperança e vale mesmo que X e Y sejam dependentes.

Passo 3

Vamos reescrever L em termos de X e Y. Como L=R-C,
L=(3X+2Y)-(2X+1{,}5Y)= (3-2)X+(2-1{,}5)Y = 1\cdot X + 0{,}5\cdot Y.
Agora aplicamos a linearidade da esperança para calcular E(L):
E(L)=E(1\cdot X + 0{,}5\cdot Y)=1\cdot E(X)+0{,}5\cdot E(Y).
Substituindo os valores dados:
E(L)=1\cdot 100 + 0{,}5\cdot 150.
Fazendo as contas passo a passo: 0{,}5\cdot 150=75, então
E(L)=100+75=175.

Passo 4

Agora a variância. Precisamos da fórmula para a variância de uma combinação linear de duas variáveis. Para constantes a,b,
V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)+2ab\,\operatorname{COV}(X,Y).
Explicando: V(\cdot) mede a dispersão em torno da média; o termo a^{2}V(X) é a contribuição da variância de X escalada por a, o termo b^{2}V(Y) é análogo para Y, e 2ab\,\operatorname{COV}(X,Y) aparece porque X e Y podem variar juntos (covariância). Essa fórmula decorre da bilinearidade da covariância e da definição V(Z)=\operatorname{COV}(Z,Z).

Passo 5

Aplicamos essa fórmula a L = 1\cdot X + 0{,}5\cdot Y. Aqui a=1 e b=0{,}5. Então
V(L)=1^{2}V(X)+(0{,}5)^{2}V(Y)+2\cdot 1\cdot 0{,}5\cdot \operatorname{COV}(X,Y).
Substituindo os números dados:
V(L)=1^{2}\cdot 25 + 0{,}25\cdot 36 + 2\cdot 0{,}5\cdot 15.
Calculemos termo a termo:
1^{2}\cdot 25 = 25,\qquad 0{,}25\cdot 36 = 9,\qquad 2\cdot 0{,}5\cdot 15 = 15.
Somando:
V(L)=25+9+15=49.

Passo 6

Para encontrar \operatorname{COV}(R,C) usamos a propriedade da covariância com combinações lineares: para constantes a,b,c,d,
\operatorname{COV}(aX+bY,\; cX+dY)=ac\,V(X)+bd\,V(Y)+(ad+bc)\,\operatorname{COV}(X,Y).
Essa fórmula vem de expandir a covariância usando bilinearidade: por exemplo \operatorname{COV}(aX,cX)=ac\,\operatorname{COV}(X,X)=ac\,V(X), e assim por diante.

Passo 7

No nosso caso R=3X+2Y e C=2X+1{,}5Y. Então a=3, b=2, c=2, d=1{,}5. Aplicando a fórmula:
\operatorname{COV}(R,C)=3\cdot 2\,V(X) + 2\cdot 1{,}5\,V(Y) + \big(3\cdot 1{,}5 + 2\cdot 2\big)\operatorname{COV}(X,Y).
Agora substituímos os valores numéricos e calculamos passo a passo:
3\cdot 2\,V(X)=6\cdot 25 = 150,
2\cdot 1{,}5\,V(Y)=3\cdot 36 = 108,
3\cdot 1{,}5 + 2\cdot 2 = 4{,}5 + 4 = 8{,}5,
8{,}5\cdot \operatorname{COV}(X,Y) = 8{,}5\cdot 15 = 127{,}5.
Somando tudo:
\operatorname{COV}(R,C)=150 + 108 + 127{,}5 = 385{,}5.

Resposta

E(L)=175
V(L)=49
\operatorname{COV}(R,C)=385{,}5

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