(8 pontos) Uma fábrica produz dois tipos de produtos,
e
. A quantidade de produtos
produzidos em um dia é representada pela variável aleatória
, enquanto a quantidade de produtos
pela variável aleatória
. Sabe-se que:
Considere também as variáveis aleatórias
e
tais que:
- A receita obtida pela fábrica em um dia é dada por
;
- O custo diário de produção é dado por
;
- O lucro diário
é dado por
.
Pede-se, calcule:
a.
pt
A esperança matemática do lucro diário,
.
b. (
pt) A variância do lucro diário,
.
c. (3 pt) A covariância entre
e $C, C O V(R, C).
a.
b. (
c. (3 pt) A covariância entre
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Também define as variáveis:
As perguntas são:
a) Calcular .
b) Calcular .
c) Calcular .
a) Calcular
b) Calcular
c) Calcular
Passo 2
Primeiro vamos entender a esperança (valor esperado) e uma propriedade essencial: a esperança é linear. Isso significa que, para constantes
e variáveis aleatórias
,
Aqui
dá o valor médio esperado da variável. Essa propriedade é direta da definição de esperança e vale mesmo que
e
sejam dependentes.
Passo 3
Vamos reescrever
em termos de
e
. Como
,
Agora aplicamos a linearidade da esperança para calcular
:
Substituindo os valores dados:
Fazendo as contas passo a passo:
, então
Passo 4
Agora a variância. Precisamos da fórmula para a variância de uma combinação linear de duas variáveis. Para constantes
,
Explicando:
mede a dispersão em torno da média; o termo
é a contribuição da variância de
escalada por
, o termo
é análogo para
, e
aparece porque
e
podem variar juntos (covariância). Essa fórmula decorre da bilinearidade da covariância e da definição
.
Passo 5
Aplicamos essa fórmula a
. Aqui
e
. Então
Substituindo os números dados:
Calculemos termo a termo:
Somando:
Passo 6
Para encontrar
usamos a propriedade da covariância com combinações lineares: para constantes
,
Essa fórmula vem de expandir a covariância usando bilinearidade: por exemplo
, e assim por diante.
Passo 7
No nosso caso
e
. Então
,
,
,
. Aplicando a fórmula:
Agora substituímos os valores numéricos e calculamos passo a passo:
Somando tudo: