(8 pontos) Em uma pesquisa agronômica, 20 sementes de milho foram plantadas em condições controladas. Sabe-se que a probabilidade de uma semente germinar com sucesso é de 0,85 . Considere que a germinação de cada semente é um evento independente dos demais.
a. (3 pt) Qual é o modelo que pode ser utilizado para calcular a probabilidade de
sementes germinarem com sucesso, para
? Calcule a probabilidade de exatamente 18 sementes germinarem com sucesso?
b. (5 pt) Calcule o número médio (ou esperado) e também o desvio padrão, do número de sementes que germinam.
a. (3 pt) Qual é o modelo que pode ser utilizado para calcular a probabilidade de
b. (5 pt) Calcule o número médio (ou esperado) e também o desvio padrão, do número de sementes que germinam.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Informação: foram plantadas
sementes. Então temos . - Informação: a probabilidade de uma semente germinar com sucesso é
. Então . - Informação: as germinações são eventos independentes.
Perguntas:
- (a) Qual é o modelo que descreve a probabilidade de
sementes germinarem com sucesso, para ? Calcule a probabilidade de exatamente 18 sementes germinarem com sucesso. - (b) Calcule o número médio (esperança) e o desvio padrão do número de sementes que germinam.
Passo 2
Qual modelo usar e por quê (explicação didática e fórmula):
- Quando temos um número fixo de tentativas
independentes, cada tentativa com duas possibilidades (sucesso ou fracasso) e mesma probabilidade de sucesso, o número de sucessos segue o seguinte modelo:
onde:
-
é o número de maneiras de escolher quais das tentativas deram sucesso; -
é a probabilidade de obter sucessos; -
é a probabilidade dos fracassos. - Essa fórmula é chamada de fórmula da distribuição binomial. Aqui cada variável significa:
-
: número total de sementes ( ); -
: número de sementes que germinam com sucesso (aqui queremos ); -
: probabilidade de sucesso em cada semente ( ); -
: probabilidade de fracasso em cada semente ( ).
-
Cálculo de
passo a passo:
- Primeiro calcule o coeficiente binomial. Usamos a igualdade
(isso ocorre porque ).
- Agora aplique a fórmula com
, , :
- Calcule as potências (fazendo contas que você consegue na prova com calculadora ou aproximando manualmente):
- Multiplicando:
Interpretação: a probabilidade de exatamente 18 sementes germinarem é aproximadamente
(ou
).
Passo 3
Cálculo do número médio (esperança) e do desvio padrão (explicação e fórmulas):
- Para a mesma situação (mesmas condições da Passo 2), existem fórmulas simples e muito usadas:
- Esperança (valor médio) de
:
- Variância de
:
- Desvio padrão de
(raiz quadrada da variância):
- Esperança (valor médio) de
- Essas fórmulas vêm da ideia de somar variáveis indicadoras de sucesso em cada tentativa; cada indicadora tem média
e variância , e por independência somamos vezes.
Cálculo numérico com
e
:
- Esperança:
- Variância:
- Desvio padrão:
Interpretação: em média espera-se que germinem
sementes; a dispersão típica ao redor dessa média (desvio padrão) é cerca de
sementes.
Resposta
(a) Modelo:
.
(b) .
(b)