(8 pontos) Em uma pesquisa agronômica, 20 sementes de milho foram plantadas em condições controladas. Sabe-se que a probabilidade de uma semente germinar com sucesso é de 0,85 . Considere que a germinação de cada semente é um evento independente dos demais.
a. (3 pt) Qual é o modelo que pode ser utilizado para calcular a probabilidade de x sementes germinarem com sucesso, para x=0,1,2, \ldots, 20 ? Calcule a probabilidade de exatamente 18 sementes germinarem com sucesso?
b. (5 pt) Calcule o número médio (ou esperado) e também o desvio padrão, do número de sementes que germinam.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informação: foram plantadas 20 sementes. Então temos n=20.
  • Informação: a probabilidade de uma semente germinar com sucesso é 0,85. Então p=0,85.
  • Informação: as germinações são eventos independentes.
Perguntas:
  1. (a) Qual é o modelo que descreve a probabilidade de x sementes germinarem com sucesso, para x=0,1,2,\ldots,20? Calcule a probabilidade de exatamente 18 sementes germinarem com sucesso.
  2. (b) Calcule o número médio (esperança) e o desvio padrão do número de sementes que germinam.

Passo 2

Qual modelo usar e por quê (explicação didática e fórmula):
  • Quando temos um número fixo de tentativas n independentes, cada tentativa com duas possibilidades (sucesso ou fracasso) e mesma probabilidade p de sucesso, o número de sucessos X segue o seguinte modelo:
P(X=x)=\binom{n}{x}\,p^{x}\,(1-p)^{\,n-x},
onde:
  • \binom{n}{x} é o número de maneiras de escolher quais x das n tentativas deram sucesso;
  • p^{x} é a probabilidade de obter x sucessos;
  • (1-p)^{\,n-x} é a probabilidade dos n-x fracassos.
  • Essa fórmula é chamada de fórmula da distribuição binomial. Aqui cada variável significa:
    • n: número total de sementes ( n=20);
    • x: número de sementes que germinam com sucesso (aqui queremos x=18);
    • p: probabilidade de sucesso em cada semente ( p=0,85);
    • 1-p: probabilidade de fracasso em cada semente ( 1-p=0,15).
Cálculo de P(X=18) passo a passo:
  • Primeiro calcule o coeficiente binomial. Usamos a igualdade \binom{20}{18}=\binom{20}{2} (isso ocorre porque \binom{n}{x}=\binom{n}{n-x}).
\binom{20}{2}=\frac{20\cdot 19}{2\cdot 1}=190.
  • Agora aplique a fórmula com n=20, x=18, p=0,85:
P(X=18)=190\cdot (0,85)^{18}\cdot(0,15)^{2}.
  • Calcule as potências (fazendo contas que você consegue na prova com calculadora ou aproximando manualmente):
(0,85)^{18}\approx 0,053655\quad\text{e}\quad(0,15)^{2}=0,0225.
  • Multiplicando:
190\cdot 0,053655\cdot 0,0225 \approx 0,2294.
Interpretação: a probabilidade de exatamente 18 sementes germinarem é aproximadamente 0,2294 (ou 22{,}94\%).

Passo 3

Cálculo do número médio (esperança) e do desvio padrão (explicação e fórmulas):
  • Para a mesma situação (mesmas condições da Passo 2), existem fórmulas simples e muito usadas:
    • Esperança (valor médio) de X:
    E[X]=n\cdot p.
    • Variância de X:
    \mathrm{Var}(X)=n\cdot p\cdot (1-p).
    • Desvio padrão de X (raiz quadrada da variância):
    \sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}.
  • Essas fórmulas vêm da ideia de somar variáveis indicadoras de sucesso em cada tentativa; cada indicadora tem média p e variância p(1-p), e por independência somamos n vezes.
Cálculo numérico com n=20 e p=0,85:
  • Esperança:
E[X]=20\cdot 0,85=17.
  • Variância:
\mathrm{Var}(X)=20\cdot 0,85\cdot 0,15=2,55.
  • Desvio padrão:
\sigma_X=\sqrt{2,55}\approx 1,596.
Interpretação: em média espera-se que germinem 17 sementes; a dispersão típica ao redor dessa média (desvio padrão) é cerca de 1,596 sementes.

Resposta

(a) Modelo: X\sim \text{Binomial}(n=20,p=0,85). P(X=18)=190\cdot(0,85)^{18}\cdot(0,15)^{2}\approx 0,2294.
(b) E[X]=17. \sigma_X=\sqrt{2,55}\approx 1,596.

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